微积分解题常见错误剖析

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1、万方数据第13卷第2期2003年4月广西大学梧州分校学报JOURNAL0FGUANGXIUNlVERSITYWUZHOUBRANCHNo．2V01．13Apr．2003微积分解题常见错误剖析温慕江(广西大学梧州分校基础课部，广西梧州543002)【摘要】探究微积分解题中的几种常见错误，举例剖析致误原因，并予以纠正。【关键词】解题；错误；剖析【中图分类号】0172【文献标识码】A【文章编号】1009—2633(2003)02—0021一02解题是数学教学的必要环节，是教师检查教学效果的主要手段，是教学反馈的主要信息的来源。所以我们在数学教学中，不

2、应只着重于“抓类型”、“抓方法”，而更应对错误的解法进行反思，探究及挖掘其积极作用。恩格斯曾说过：“要明确地懂得理论，最好的道路就是从本身的错误中，从痛苦的经验中学习。”因此，笔者在多年的微积分教学中，整理出微积分解题中常见的错误，以期抛砖引玉。1．忽视函数的定义域致误例1．已知函数“x)=3+109碳，x∈【1，4】，求函数y=f(x2)+【f(x)】2的最大值。错解：y=f(X2)+【f(x)】2=3+l092X2+【3+Iog’X】2=(1092)()斗8I092)(+12又由x∈【1，4】，及I092)(∈【0，2】，可知ym扩32。剖

3、析：上述错误是错把f(x)的定义域当成了所求函数y的定义域，这种错解十分常见。但此题若先求函数y的定义域，再求y的最大值，结果出错极少，这说明的确有相当一部分学生，对定义域会求，却不会应用。正解：y=f(×2)+【f(x)12=(1092x)砷8I092x+12因为f(x)2的定义域为【1，2】U卜2，一1】；【f(x)】2的定义域为【1，41所以y的定义域为【1，2】。(因为由题意，y的定义域为上两个函数定义域之交)从而，当x=2时，即IogⅨ=1时，求得y。。F21。2．忽视对极限。左极限，右极限概念的正确理解致误收稿日期：2()03—02

4、一17例2讨论当)㈢0时，“x)的极限是否存在?错解：当x0时，因为f(x)有两个表达式所以¨mf(x)=Iim(x2+1)=1x_0+×—’0．1im“x)=¨唧軎不存在川x-．o’天因为limf(x)≠Iimf(x)*—+口X—’‘r所以当x—O时，f(x)的极限不存在剖析：这是讨论分段函数在分段点处极限是否存在的典型题。解出的结论是正确，但解题过程中很多学生竟求出“两个”右极限。究其原因，是曲解了极限的有关概念。实际上，f(x)在×=0处的右极限是指当×从×=0的右侧(即x>0)

5、充分趋近于0时f(x)的变化趋势。该分段函数在×>0时的确有两个表达式，但当×与0充分趋近时，在数轴右边x已落在o1)。正解：limf(x)=Iim(3×+2)=2x—’口Iim“x)=nm(x2+1)=1p0．x00+因为¨mf(×)≠limf(x)锄懿蚁疑脉化；

6、；州2页万方数据广西大学梧州分校学报第13卷所以，当x一0时，“x)的极限不存在。3．忽视无穷小代换法则应用的条件而致误例3求极限¨m塑型巡枷sin3)(错解：原式=lim譬=oM^剖析：上述错误亦

7、十分普遍，究其原因是忽视了无穷小代换法则的应用条件。此法则只能在积商运算中应用。而在此题中函数的分子存在加、减运算，故不能直接应该法则解题。其实，此处不能用×一x代替tanx-sin×，是因为tan×-sin×与x一×并不是等价无穷小。正解：原式=¨m塑型塑兰盟posin3)(在此顺便指出：无穷小代换法则在某些情况下也可以在加减运算中应用，如文【1】中给出的结论：设仅p1是自变量在同一变化过程中的无穷小，且d～仪7，p～p7，当d与p不等价时，仅～p～仪7～p7，因此有：lim旦二—艮：im旦坐。7一y由此结论，可直接利用等价无穷小代换求下面的

8、极限：!嘎百丽慧笔篙萋黧高两!婴×+X一13x+5x-6×。4．忽视对条件极值解题方法的正确选择而有致误例4啕某公司的两个工厂生产同样的产品，但所需成本不同，第一个工厂生产X单位产品和第二个工厂生产y单位产品时的总成本是c(×，y)：x2+2y2+5xy+700，若公司的生产任务是500个单位产品，问如何分配任务才能使成本最小?错解：根据题意，是求函数C(×，y)=x2+2y2+5xy+700在条件x+y=500下的极限。用拉格郎日乘数法求解。作辅助函数：F(x，y)=x2+2y砷5×y+700+入(×+y一500)fF(x)=2x+5y+入=

9、0令{F(y)=4y+5x+入=o，【x+y=500解得x=125，y=375。所以根据题意知，当第一工厂生产125个单位产品，第二个工厂生产375个