数学分析课件12

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1、数学分析第十二章:数项级数王何宇(浙江大学数学系科学与工程计算研究所)最后更新2009年11月20日王何宇数学分析级数的定义定义给定一个数列fung,对它的各项依次用加号连接起来的表达式X1un(1)n=1称为数项级数或者无穷级数,简称级数.其中un称为数项级数(1)的通项.数项级数(1)的前n项之和,记为XnSn=uk=u1+u2+


+unk=1称为数项级数(1)的第n个部分和,简称部分和.定义若数项级数(1)的部分和数列Sn收敛于S(limn!1Sn=S),则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和.王何宇数学分析级数的定义定义给定一个数列fung,对它的各项依次用加号连接起来的

2、表达式X1un(1)n=1称为数项级数或者无穷级数,简称级数.其中un称为数项级数(1)的通项.数项级数(1)的前n项之和,记为XnSn=uk=u1+u2+


+unk=1称为数项级数(1)的第n个部分和,简称部分和.定义若数项级数(1)的部分和数列Sn收敛于S(limn!1Sn=S),则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和.王何宇数学分析级数的定义定义给定一个数列fung,对它的各项依次用加号连接起来的表达式X1un(1)n=1称为数项级数或者无穷级数,简称级数.其中un称为数项级数(1)的通项.数项级数(1)的前n项之和,记为XnSn=uk=u1+u2+


+unk=1称为数

3、项级数(1)的第n个部分和,简称部分和.定义若数项级数(1)的部分和数列Sn收敛于S(limn!1Sn=S),则称数项级数(1)收敛,称S为数项级数(1)的和.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论等比级数(也称为几何级数)a+aq+aq2+


+aqn+


的收敛性(a6=0).解q6=1时,级数的部分和数列为1qnS=a+aq+


+aqn1=a
:n1q因此,1当jqj<1时,1qnalimSn=lima
=:n!1n!11q1q2当jqj>1时,limn!1Sn=1,级数发散.3当q=1时,Sn=na,级数发散.当q=1时,S2k=0,S2k+1=a,k=0;1;2;

4、
,级数发散.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论等比级数(也称为几何级数)a+aq+aq2+


+aqn+


的收敛性(a6=0).解q6=1时,级数的部分和数列为1qnS=a+aq+


+aqn1=a
:n1q因此,1当jqj<1时,1qnalimSn=lima
=:n!1n!11q1q2当jqj>1时,limn!1Sn=1,级数发散.3当q=1时,Sn=na,级数发散.当q=1时,S2k=0,S2k+1=a,k=0;1;2;


,级数发散.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论等比级数(也称为几何级数)a+aq+aq2+


+aqn+


的收敛性(a6=0).解q6=1时

5、,级数的部分和数列为1qnS=a+aq+


+aqn1=a
:n1q因此,1当jqj<1时,1qnalimSn=lima
=:n!1n!11q1q2当jqj>1时,limn!1Sn=1,级数发散.3当q=1时,Sn=na,级数发散.当q=1时,S2k=0,S2k+1=a,k=0;1;2;


,级数发散.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论等比级数(也称为几何级数)a+aq+aq2+


+aqn+


的收敛性(a6=0).解q6=1时,级数的部分和数列为1qnS=a+aq+


+aqn1=a
:n1q因此,1当jqj<1时,1qnalimSn=lima
=:n!1n!

6、11q1q2当jqj>1时,limn!1Sn=1,级数发散.3当q=1时,Sn=na,级数发散.当q=1时,S2k=0,S2k+1=a,k=0;1;2;


,级数发散.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论等比级数(也称为几何级数)a+aq+aq2+


+aqn+


的收敛性(a6=0).解q6=1时,级数的部分和数列为1qnS=a+aq+


+aqn1=a
:n1q因此,1当jqj<1时,1qnalimSn=lima
=:n!1n!11q1q2当jqj>1时,limn!1Sn=1,级数发散.3当q=1时,Sn=na,级数发散.当q=1时,S2k=0,S2k+1=a,k=

7、0;1;2;


,级数发散.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论数项级数111++


++


1
22
3n(n+1)的收敛性.解该级数的部分和数列111Sn=++


+1
22
3n(n+1)11111=1++


+223nn+11=1!1;n!1:n+1因此该级数收敛到1.王何宇数学分析级数收敛的例子讨论数项级数111++


++


1
22
3n(n+1)的收敛