数学分析课件华东师大版12.ppt

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1、一、区间与邻域1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:二有界集·确界原理1有（无）界数集:定义(上、下有界,有

2、界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界＞＜＞闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.,等都是无界数集,集合也是无界数集.例1证明集合是无界数集.,存在由无界集定义，E为无界集。证明：对任意2确界:定义R,数M若满足1）M是E的上界2）是任一上界，必有则称M是E的最小上界或上确界，记作或。命题1的充要条件1）M是E上界，2）使得。证必要性，用反证法。设2）不成立，则使得，均有，与M是上确界矛盾。充分性，用反证法。设M不是E的上确界，即是上界,但。令，由2)，，使

3、得，与是E的上界矛盾。定义2R，m满足1）m是下界，2）是E的任意下界，必有.则称m为E的下确界或最大下界。记作：或.命题2m=的充要条件1）m是E的下界，2）使得.＜例2⑴则⑵则例3设S和A是非空数集，且有则有.例4设A和B是非空数集.若对和都有则有证y是A的上界,是B的下界,例4设A,B为非空数集,满足:证明数集A有上确界,数集B有下确界,且证:故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,A中任一数都是B的下界,是数集A的最小上界,

4、故有而此式又表明数是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得例5为非空数集,试证明:证有或由和分别是的下界,有或即是数集的下界,.和又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有.于是有综上,有例5为非空数集,试证明:证有或由和分别是的下界,有或即是数集的下界,.和命题3：设数集有上（下）确界，则这上，且，则不妨设有对，使，矛盾。（下）确界必是唯一的。证：设3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系:设E为数集.⑴E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.⑵非空有界数集必

5、有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.5确界原理定理1(确界原理).设E为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。非空，有上界：，(1).若中有最大数，则即为上确界；中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；，其余的实数归入下类，则是实数的一个分划。证明设.(2).若的一切上界归入上类。其次，由于不是的最大数，所以它不是的上界，即。这说明中任一元素都属于下类；A,B不空.首先取A、B不漏性由A、B定义即可看出；A、B不乱.设，因a不是E的上界，，使得，

6、而E内每一元素属于A，所以.由的证明可见无最大数.所以是实数的一个分划.由戴德金定理，知上类B必有最小数，记作c.﹐由知，即得.这表明c是的一个上界.若b是E的一个上界，则，由此得，所以c是上界中最小的，由上确界定义，为集合的上确界，记作。下证:非空的有下界的集合必有下确界。事实上，设集合有下界b，则非空集合有上界-b，利用集合上确界的存在性，即可得出集合E的下确界存在。定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。若全序集中任一非空

7、有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。