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1、第一章实数集与函数【目的与要求】1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语.要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的
2、复合关系.【重点与难点】重点是实数集、函数、确界的概念及其有关性质，难点是确界的定义及应用. 第一节 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念 一 实数及其性质：1回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 若规定： =则有限十进小数都能表示成无限循环小数.例如：2.001记为；0记为 ；-8记为 2实数大小的比较定义1 给定两个非负实数,其中 为非负整数，.若由1-1-151）, 则称 与相等，记为.2）若存在
3、非负整数，使得,，而，则称大于（或小于 ），分别记为（或）.规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数若按定义1有，则称. 3实数的有理数近似表示定义2设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值.对于负实数 的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定为：.比如 ，则1.4,1.41,1.414,1.4142,…称为的不足近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,… 称为的过剩近似值.4命题 设 与为两个实数，则存在非负整数使得例1 设为实数，，证明：存
4、在有理数 满足证明 由存在非负整数，使得 ，取则显然为有理数，且.5实数的一些主要性质1-1-15（1）四则运算封闭性.（2）三歧性(即有序性).（3）实数大小由传递性，即若则有.（4）Rrchimedes性:.（5）稠密性:有理数和无理数的稠密性.（6）实数集的几何表示───数轴.5两实数相等的充要条件:例若有， 则 .二绝对值与不等式1绝对值的定义 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： 2绝对值的一些主要性质 1.当且仅当时.2..3.；.4..5..6..性质4（三角不等式）的证明：由性质2,
5、.1-1-15两式相加.由性质3上式等价于.把上式的换成得. 三 几个重要不等式 (1)...(2)均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当时成立.(3)Bernoulli不等式(在中学已用数学归纳法证明过),有不等式.因为对，由二项展开式1-1-15 有大于上式右端的任何一项.作业：P41、2、3、4、5、6.1-1-15第二节 数集·确界原理一 区间与邻域1区间称为开区间，记作. 称为闭区间，记作[]. 半开区间记作.半开区
6、间记作.，，2邻域设与是两个实数，且.称点集为点的邻域，记作.称点集为点的空心邻域，记作.此外,我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域,简记为；点的左邻域,简记为；点的空心右邻域,简记为；点的空心左邻域,简记为；邻域，其中为充分大的正数(下同)；1-1-15邻域；邻域.二 有界数集·确界原理1.有界数集 定义(上、下有界,有界)定义1设为中的一个数集.若存在数,使得对一切,都有,则称为有上界的数集.数称为的一个上界.若存在数,使得对一切,都有,则称为有下界的数集.数称为的一个下界.若数集既有上界又有下
7、界,则称为有界数集. 闭区间(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集.2无界数集对任意，存在，使，则称S为无界集. ，，等都是无界数集. 例证明集合是无界数集.证明：对任意,存在,,由无界集定义，E为无界集.3确界先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界.精确定义：1-1-15定义2 设S是R中的一个数集，若数满足以下两条：（1） 对一切 有，即是数集S的上界；（2） 对任
8、何存在使得（即是S的最小上界）则称数为数集S的上确界.记作 .定义3 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条：（3） 对一切 有，即是数集S的下界；（4） 对任何存在使得（即是S的最大下界）则称数为数集S的下确界.记作 . 例1 （1） 则；. （2） 则；.4确界原理定理1.1 (确界原理).设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.证明（见教材p7）例2
