数学分析(华东师大)第三章函数极限

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1、第三章函数极限§1函数极限概念一X趋于OO时函数的极限设函数/定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量X趋于+…时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A.例如，对于函数f(x)二，从图象上可见，当x无限增大时，函数值无限地接近于0/而对于函数g(x)X_JI=arctan%，则当％趋于+°°时函数值无限地接近于一我们称这两个函数当％2—趋于+OO时有极限.一般地，当X趋于+OO时函数极限的精确定义如下.•定义1设/为定义在+~)上的函数，/1为定数.若对任给的存在正数M(^6Z),使得当x〉M时有If(x)-A

2、l

3、/U)_A

4、

5、

6、AT或“

7、x

8、〉AT即可.读者不难证明.•若f为定义在上的函数，则limf(x)=A!limf(x)=limf(x)=A.，则当

9、x

10、>M时有e1L丄所以lim—=0.X例2证明：1)limarctanxJT;2)limarctanx2x-*+oo2证任给e〉o,由于arctanx2L2(2)TTTT等价于-e-—

11、成立.这就证明了1).类似地可证2).注由结论(1)可知，当a:—00时arctanx不存在极限.二％趋于时函数的极限设/为定义在点X。的某个空心邻域X。)内的函数.现在讨论当趋于x,(x^加)时，对应的函数值能否趋于某个定数A.这类函数极限的精确定义如下：定义2(函数极限的e-5定义)设函数/在点xo的某个空心邻域内有定义，A为定数若对任给的O0,存在正数SJ，使得当0<

12、X-A：。

13、

14、何应用e-S定义来验证这种类型的函数极限.请读者特别注意以下各例中S的值是怎样确定的.•，证明lim/Yx)=4.X2-4x-2f(x)-4

15、4

16、0,只要取6=则当0<

17、x-2

18、<5时有

19、/(x)证明了limf(x)=4.例4证明••1)limsinx=sinxo;2)limcosx=cosxo.J!证先建立一个不等式.•当0

20、tan又，由此立得(3)式.(3)图3-2TT又当—时有sin%^1

21、x-xo

22、

23、<丨％-1

24、<1（此时x〉0），则

25、2x+l

26、〉l.于是，对任给的£>0只要取S=min/3e,lJ,则当0<

27、x-l

28、

29、x

30、彡l，

31、xo

32、

33、<则当0<

34、x-xo

35、<5时，就有丨1应用e-S定义还立刻可得limc=c，l