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《《数学分析》第三章 函数极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章函数极限（计划课时：14时）P42—68§1函数极限概念（4时）一、时函数的极限：1.以时和为例引入.2.介绍符号:,,的意义,的直观意义.3.函数极限的“”定义(,,).4.几何意义:介绍邻域,,其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．5.函数在与,极限的关系:Th1例1验证证明格式：（不妨设□）（不妨设□或□，□）要使化简≤附加条件逐次放大不等式＜，只须□（）或□（），□（）.于是,□，当（或，）时，有.根据函数极限的“”定义知□=□（或□=□，□=□）.例2验证：1）；2）.例
2、3验证29证……6.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.7.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其大的一面.二．时函数的极限：1.由考虑时的极限引入.2.函数极限的“”定义.3.几何意义.4.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有证明格式：（不妨设□）（不妨设□或□，29□,则□□）要使化简≤附加条件逐次放大不等式＜，只须□（）或□（），□（）.于是,□，当（或，）时，有:.根据函数极限的“”定义知□=□（或□=□，□=□）.例7验证例8验证(
3、类似有5.的正值性,任意性与确定性,以小为贵.6.的存在性与非唯一性,对只要求存在,在乎其小的一面.7.存在并不意味着在有定义,即就是有定义也并不意味着(如例6).例9证明.三.单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.2.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的3.单侧极限与双侧极限的关系:Th229例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=Ex[1]P471—7.§2函数极限的性质（2时）我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简
4、证.一.函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使都有证设=(现证对有)註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性(双逼原理):例1求.6.四则运算性质:(只证“+”和“”)Ex[1]P515——7.29二．利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得
5、所求极限.例1(利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4[利用公式]例5例6例7例8例9例10已知求和29Ex[1]P511——4.补充题:已知求和()§3函数极限存在的条件（2时）本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限为例.一、Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：Th1设函数在点的某空心邻域内有定义.则极限存在对任何且都存在且相等.(证)Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为单调趋于.参阅[1]P70.
6、例1证明函数极限的双逼原理.例2证明例3证明不存在.Th2设函数在点的某空心右邻域有定义.则对任何以为极限的递减数列,有.Th3设函数为定义在上的单调有界函数.则存在.二、Cauchy准则:Th3(Cauchy准则)设函数在点的某空心邻域内有定义.则存在,证(利用Heine归并原则)29Cauchy准则的否定:不存在的充要条件.例4用Cauchy准则证明极限不存在.证取例5设在[上函数↘.则极限存在在[上有界.(简证,留为作业).Ex[1]P551——4.§4两个重要极限（2时）一．（证）（同理有）例
7、1例2.例3例4例5证明极限不存在.二.证对有29例6特别当等.例7例8例9Ex[1]P581——4.§5无穷小量与无穷大量阶的比较（2时）一、无穷小量:1.定义.记法.2.无穷小的性质:性质1(无穷小的和差积)性质2(无穷小与有界量的积)例13.无穷小与极限的关系:Th1(证)二、无穷小的阶:设时1．高阶（或低阶）无穷小：2．同阶无穷小：3．等价:Th2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用:Th3(等价无穷小替换法则).几组常用等价无穷小:设以作为基本无穷小,有等价关系:当时,～,～,
8、～,～,～,29～,～,～,～.再加上时(或时)的(或的)有理分式(分子次数小于分母次数)的等价无穷小.其中有些等价关系的证明以后陆续进行.例3求.例4三.无穷大量:1.定义:例5验证.例6验证.2.性质:性质1同号无穷大的和是无穷大.性质2无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用,可仿无穷小讨论,有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大.四、曲线的渐近线：1.定义：2.
