数学分析((华东师大)函数

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1、第一章实数集与函数【目的与要求】1.使学生掌握实数的概念,建立起实数集确界的清晰概念;2.使学生深刻理解函数的概念,熟悉与函数性态有关的一些常见术语.要求学生:理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性;掌握邻域的概念;牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式;理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题证明中正确地加以应用;深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法;牢记基本初等函数的定义、性质及其图象,会求函数的定义域,会分析

2、函数的复合关系.【重点与难点】重点是实数集、函数、确界的概念及其有关性质,难点是确界的定义及应用.                第一节  实 数     数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数,因此先叙述一下实数的有关概念 一      实数及其性质:1回顾中学中关于有理数和无理数的定义.   若规定:  =则有限十进小数都能表示成无限循环小数.例如:2.001记为;0记为  ;-8记为  2实数大小的比较定义1 给定两个非负实数,其中 为非负整数,.若由1-1-1101), 则称 与相等,记

3、为.2)若存在非负整数,使得,,而,则称大于(或小于 ),分别记为(或).规定任何非负实数大于任何负实数;对于负实数若按定义1有,则称.   3实数的有理数近似表示定义2设为非负实数,称有理数为实数的位不足近似值,而有理数称为的位过剩近似值.对于负实数 的位不足近似值规定为:;的位过剩近似值规定为:.比如  ,则1.4,1.41,1.414,1.4142,…称为的不足近似值;1.5,1.42,1.415,1.4143,… 称为的过剩近似值.4命题 设 与为两个实数,则存在非负整数使得例1     

4、设为实数,,证明:存在有理数 满足证明  由存在非负整数,使得 ,取则显然为有理数,且.5实数的一些主要性质1-1-110(1)四则运算封闭性.(2)三歧性(即有序性).(3)实数大小由传递性,即若则有.(4)Rrchimedes性:.(5)稠密性:有理数和无理数的稠密性.(6)实数集的几何表示───数轴.5两实数相等的充要条件:例若有, 则  .二绝对值与不等式1绝对值的定义 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离: 2绝对值的一些主要性质 1.当且仅当时.2..3.;.4..5..6..性质4(三

5、角不等式)的证明:由性质2,.1-1-110两式相加.由性质3上式等价于.把上式的换成得.      三 几个重要不等式        (1)...(2)均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当时成立.(3)Bernoulli不等式(在中学已用数学归纳法证明过),有不等式.因为对,由二项展开式1-1-110 有大于上式右端的任何一项.作业:P41、2、3、4、5、6.1-1-110第二节  数集·确界原理一 区间与邻域1区间称为开区间,记作. 称为闭区

6、间,记作[].   半开区间记作.半开区间记作.,,2邻域设与是两个实数,且.称点集为点的邻域,记作.称点集为点的空心邻域,记作.此外,我们还常用到以下几种邻域:点的右邻域,简记为;点的左邻域,简记为;点的空心右邻域,简记为;点的空心左邻域,简记为;邻域,其中为充分大的正数(下同);1-1-110邻域;邻域.二  有界数集·确界原理1.有界数集  定义(上、下有界,有界)定义1设为中的一个数集.若存在数,使得对一切,都有,则称为有上界的数集.数称为的一个上界.若存在数,使得对一切,都有,则称为有下

7、界的数集.数称为的一个下界.若数集既有上界又有下界,则称为有界数集. 闭区间(为有限数)、邻域等都是有界数集,集合 也是有界数集.2无界数集对任意,存在,使,则称S为无界集. ,,等都是无界数集. 例证明集合是无界数集.证明:对任意,存在,,由无界集定义,E为无界集.3确界先给出确界的直观定义:若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界;同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.精确定义:1-1-110定义2 设S是R中的一个数集,若数满足以下两条:(

8、1)   对一切 有,即是数集S的上界;(2)   对任何存在使得(即是S的最小上界)则称数为数集S的上确界.记作 .定义3 设S是R中的一个数集,若数满足一下两条:(3)   对一切 有,即是数集S的下界;(4)   对任何存在使得(即是S的最大下界)则称数为数集S的下确界.记作 .   例1 (1)    则;.                (2)   则;.4确界原理定理1.1 (确界原理).设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.证明(见教

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