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《数学分析_数学分析华东师大习题答案_第四章函数连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第四章函数连续性Page1of25第四章函数连续性nm７．设X⊂ℜ,f:X→ℜ,A,B⊂X．证明：（１）f(A∪B)=f(A)∪f(B)；（２）f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)；（３）若f为一一映射，则f(A∩B)=f(A)∩f(B)．证（１）∀y∈f(A∪B),∃x∈A∪B,使y=f(x)．若x∈A,则y∈f(A)；若x∈B,则y∈f(B)．所以，当x∈A∪B时,y=f(x)∈f(A)∪f(B)．这表示f(A∪B)⊂f(A)∪f(B)．反之，∀y∈f(A)∪f(B),∃x∈X,使y=f(x)．若y∈f(A),则x∈A；若y∈f(B),则x∈B，于是x∈A∪B．这表示y=f(x)∈f(A∪B
2、)，亦即f(A∪B)⊃f(A)∪f(B)．综上，结论f(A∪B)=f(A)∪f(B)得证．（２）∀y∈f(A∩B),∃x∈A∩B,使f(x)=y.因x∈A且x∈B，故f(x)∈f(A)且f(x)∈f(B)，即y=f(x)∈f(A)∩f(B),亦即f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)．2然而此式反过来不一定成立．例如f(x)=x,A=[−2,1],B=[−1,2]，则有f(A)=f(B)=f(A)∩f(B)=[0,4]；A∩B=[−1,1],f(A∩B)=[0,1]．可见在一般情形下，f(A)∩f(B)⊄f(A∩B)．（３）∀y∈f(A)∩f(B)，∃x1∈A,)x2∈B，使y=f(x1)=f(x
3、2．当f为一一映射时，只能是x1=x2∈A∩B，于是y∈f(A∩B)，故得f(A)∩f(B)⊂f(A∩B)．联系（２），便证得当f为一一映射时，等式f(A)∩f(B)=f(A∩B)成立．□mhtml:file://F:数学分析数学分析华东师大习题答案第四章函数连续性.mht2010-09-06第四章函数连续性Page2of25nmnm８．设f,g:ℜ→ℜ,a∈ℜ,b,c∈ℜ，且limf(x)=b,limg(x)=cx→ax→a．证明：lim
4、
5、f(x)
6、
7、=
8、
9、b
10、
11、,且当
12、
13、b
14、
15、=0（１）x→a时可逆；ΤTlim[f(x)g(x)]=bc（２）x→a．证设[]Τ[]Τf(x)=f1
16、(x),",fm(x),g(x)=g1(x),",gm(x)，ΤΤΤa=[a1,",an],b=[b1,",bm],c=[c1,",cm]．利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道limfi(x)=bi,limgi(x)=ci,i=1,2,",mx→ax→a．2222lim
17、
18、f(x)
19、
20、=limf1(x)+"+fm(x)=b1+"+bm=
21、
22、b
23、
24、（１）x→ax→a．lim
25、
26、f(x)
27、
28、=0当
29、
30、b
31、
32、=0时，由于
33、
34、f(x)
35、
36、−
37、
38、b
39、
40、=
41、
42、f(x)
43、
44、，因此由x→a，推知2limfi(x)=0,i=1,2,",mlimf(x)=0x→a，即得x→a．（２）类似地有Τlim
45、[f(x)g(x)]=lim[f1(x)g1(x)+"+fm(x)gm(x)]x→ax→aΤ.=b1c1+"bmcm=bc□nm９．设D⊂ℜ,f:D→ℜ．试证：若存在证数k,r，对任何x,y∈D满足r
46、
47、f(x)−f(y)
48、
49、≤k
50、
51、x−y
52、
53、，则f在D上连续，且一致连续．证这里只需直接证明f在D上一致连续即可．1⎛ε⎞r∀ε>0,∃δ=⎜⎟>0⎝k⎠，对任何x,y∈D，只要满足
54、
55、x−y
56、
57、<δ，便有r
58、
59、f(x)−f(y)
60、
61、≤k
62、
63、x−y
64、
65、<ε．由于这里的δ只与ε有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f在D上一致连续．□D⊂ℜn,f:D→ℜmfx∈Dfx１０．设．试证：若在点0
66、连续，则在0近旁局部有界．mhtml:file://F:数学分析数学分析华东师大习题答案第四章函数连续性.mht2010-09-06第四章函数连续性Page3of25证由f在点x0连续的定义，对于ε=1，∃δ>0，当x∈U(x0;δ)时，满足
67、
68、f(x)
69、
70、−
71、
72、f(x0)
73、
74、≤
75、
76、f(x)−f(x0)
77、
78、<1⇒
79、
80、f(x)
81、
82、≤1+
83、
84、f(x0)
85、
86、，所以f在x0近旁局部有界．□nmnn１１．设f:ℜ→ℜ为连续函数，A⊂ℜ为任一开集，B⊂ℜ为任一闭集．试问f(A)是否必为开集？f(B)是否必为闭集？为什么？解f(A)不一定为开集．例如f(x)=sinx,x∈(−π,π)．这里A=(−
87、π,π)为开集，但f(A)=[−1,1]却为闭集．当B为有界闭集时，由连续函数的性质知道f(B)必为闭集且有界．但当B为无界闭集时，f(B)就不一定为闭集，例如f(x)=arctanx,x∈(−∞,+∞)．⎛ππ⎞f(B)=⎜−,⎟这里B=(−∞,+∞)可看作一闭集，而⎝22⎠却为一开集．□nn１２．设D⊂ℜ,ϕ:D→ℜ．试举例说明：（１）仅有ϕ(D)⊂D，ϕ不一定为一压缩映射；（２）仅有存在qD(0
