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《数学分析》第四章函数的连续性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第四章函数的连续性(计划课时：12时)§1函数的连续性(2时)一．函数在一点的连续性：1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.2.函数在一点连续的定义:设函数在点某邻域有定义.定义(用)定义(“”定义.)定义(用)先定义和例1函数在点连续.例2函数在点连续.例3函数在点连续.注:若函数在点连续,则,又因,从而,即在的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3.单侧连续:定义单侧连续,并图解.Th1(单、双侧连续的关系)例4讨论函数在点的连续或单侧连续性.二.间断点及其分类:图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点,其他情况即或中至少有一
2、个不存在称为第二类间断点.例5讨论函数的间断点类型.例6延拓函数使在点连续.例7讨论函数的间断点类型.例8讨论函数的间断点类型.例9讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.三．区间上的连续函数：开区间上连续，闭区间上连续,按段连续.Ex[1]P731—5.34§2连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th1—4.1.局部有界性：2.局部保号性：3.四则运算性质：4.复合函数连续性：Th4若函数在点连续,函数在点连续,且,则复合函数在点连续.(证)注:Th4可简写为例1求极限例2求极限:⑴⑵例3求极限的连续性见后.二、闭区间上连续函数的基本性
3、质:1.最值性:先定义最值.Th5(最值性)系(有界性)2.介值性:定义介值.Th6(介值性)连续函数的值域,连续的单调函数的值域.系(零点定理)例4证明:若为正整数,则存在唯一正数,使得(称为的次正根(即算术根),记作).例5设在上连续,满足,证明:使得.二.反函数的连续性:Th7若函数在上严格递增(或减)且连续,则其反函数在相应的定义域或上连续.(证)关于函数等的连续性Ex[1]P80—811—10四．函数的整体连续性 ——一致连续：1．连续定义中对的依赖性：例6考查函数在区间上的连续性.34对作限制就有对,取这里与有关,有时特记为.本例中不存在可在区间上通
4、用的,即不存在最小的(正数).例6考查函数在区间上的连续性.本例中可取得最小的,也就是可通用的该却与无关,可记为.1.一致连续性:定义(一致连续)顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法:对,确证存在.为此,从不失真地放大式入手,使在放大后的式子中,除因子之外,其余部分中不含有和,然后使所得式子,从中解出例8验证函数在内一致连续.例9验证函在区间内一致连续.证例10若函数在有限区间内一致连续,则在内有界.2.一致连续的否定:否定定义.例11证明函数在区间内非一致连续.证法一(用一致连续的否定定义验证)取取与便有但证法二(用例10的结果).3.Lip
5、schitz连续与一致连续:定义Lipschitz连续.例12函数在区间I上连续,在I上一致连续.(证)34但函数在区间I上一致连续时,未必有在I上连续.例如:函数在区间内一致连续.为证明在区间内一致连续,先证明不等式:有不等式事实上,时,同理,时,有利用该不等式,为使只要却不是连续.事实上,倘存在>,使对有则当时，应成立但若取就有矛盾.1.一致连续的判定:Th8(Cantor)若函数在闭区间上连续,在上一致连续.例13见[1]P80例10.Ex[1]P1028，9，10.§3初等函数的连续性回顾基本初等函数中,已证明了连续性的几个函数.指数函数和对数函数的连续
6、性.(证)一.初等函数的连续性:Th1一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註:初等函数的连续区间和间断点:初等函数的间断点是其连续区间的开端点.闭端点是其单侧连续点.例1求函数的连续区间和间断点.解的连续区间为:、、和.间断点为:和.在点右连续.二.利用函数的连续性求极限:例234例3作倒代换例4解I=例5解I=Ex[1]P841，2；34
