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1、数学夏令营1：泛函分析SyanMukherjee＋AlessandroVerri关于该初级读本目标简要的复习在整个课程中将要用到的泛函分析的概念*。主要介绍了下面的一些概念1.函数空间2.度量空间3.收敛4.测度5.稠子集*定义和概念主要源于Kolmogorov和Fomin的“IntroductoryRealAnalysis”（强烈推荐）6.可分离空间7.完备度量空间8.紧致度量空间9.线性空间10.线性泛函11.线性空间的范数和半范数12.收敛性回顾13.Euclidean空间14.正交性和基15.Hilbert空间16.Delta函数17.傅立叶变换18.泛函
2、导数19.期望20.大数定律函数空间函数空间是一个由函数构成的空间。在该空间中的每一个函数可以被看作是一个点。例如：1.Cab[,]，在区间[,]ab中的所有实值连续函数的集合。2.Lab[,]，在区间[,]ab绝对值可积的所有实值函数的集合。13.Lab[,]，在区间[,]ab平方可积的所有实值函数的集合。2注意在2和3中的函数并不一定是连续的！度量空间度量空间意味着包含一个空间X和一个距离ρ的对(,)Xρ，对于所有的x,yX∈所定义的单值、非负的实函数具有如下的三个特性：1.ρ(,)0xy=当且仅当x=y；2.ρ(,)xyy=ρ(,)x；3.三角不等式：ρ(,
3、)xzx≤ρρ(,)yy+(,)z例子1.距离为的所有实数的集合是度量空间。2.距离为的所有有序实数n元组是度量空间。3.满足准则且距离为的所有函数的集合是度量空间。4.具有Kullback-Leibler散度的所有概率密度集合并不是一个度量空间。散度不是对称的收敛度量空间S中的一个开/闭球是满足如下条件的的点x∈ 的集合半径为ε，且中心是x的开球将被称为x的一个ε邻域。表示为Ox()。00ε0如果x的每一个邻域Ox()都包含从某一个整数开始的所有的点x，那么度量空间S中的一个εn点序列{}xx=,xx,...,,...收敛于一个点x∈S。给定任意的ε>0，存在一
4、个整数N，使得nn12ε当nN>时Ox()包含所有的点x。{}x收敛于x当且仅当εεnn测度在整个课程中，我们会常看到如下形式的积分式中，ν()x是测度。一个集合E的测度概念ν()E是如下概念的自然扩展1)一个线段∆的长度l()∆2)一个空间G的容量VG()3)空间一个区域的非负函数的积分。Lebesgue测度设f是一个ν可测函数（它具有有限测度），它取不超过可数个不同值则通过在集合A上f的Lebesgue积分，记为我们有这么一个量式中只要级数是绝对收敛的。测度ν为Lebesgue测度。Lebesgue积分我们能够通过将红色矩形下的面积相加来计算积分Riemann
5、积分更为传统的积分形式是Riemann积分。直觉上它是无穷小的矩形的无限和的极限。在Riemann意义下的积分需要连续或者是分段连续函数，先前介绍的Lebesgue积分放宽了这一条件。因此，积分式中被定义为在Riemann意义下并不存在。Lebesgue-Stieltjes积分设F是定义在闭区间[,]ab上的一个非降函数并且假设F在区间[,)ab是连续的。F被称为Lebesgue-Stieltjes测度ν的生成函数。F一个函数f的Lebesgue-Stieltjes积分可表示为它是Lebesgue积分d的一个例子是概率密度p()xdx。这里ν对应于累积分布函数。ν
6、FF稠密__设A和B是一个度量空间的子空间。如果AB⊆，那么说A在B中稠密。A是子集A的闭_包。特别的，如果AR=，那么说A在 中处处稠密。如果x的每一个邻域都包含A中的点，则点被称为集合的一个接触点。_集合A的所有接触点的集合，记为A，被成为A的闭包。例子1.所有有理数的集合在实数轴上是稠密的。2.具有有理数系数的所有多项式的集合在Cab[,]中是稠密的。3.设K是一个正定的径向基函数，则函数在L中稠密。2注意：一个假设空间在L中稠密是任何逼近方法所希望得到的特性。2可分如果一个度量空间具有可数个处处稠密的子集，则它被称为可分的。例子：1.空间以及Cab[,]均
7、是可分的。2.实数的集合是可分的，因为有理数集合是实数的一个可数的子集并且有理数集是处处稠密的。完备性如果∀>ε0，∃N使得c∀n和mN>，ρ(,)ff<εcnm则一个函数序列f是基本的。n如果所有的基本序列都收敛于度量空间中的一个点，则该空间是完备的。C，L和L都是完备的。但C不是完备的，这可以通过一个反例说明。122C的不完备性2考虑函数序列（n=1,2,...）并且假定φ收敛于C度量中的一个连续函数φ。设n2C的不完备性（继续）2显然，因为f()t是不连续的，所以左边项是严格正的，而对n→∞，我们有因此，和假设的相反，φ不能够收敛于C度量中的φ。n2度量空间
8、的完备化给
