[数学]泛函分析

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1、1.1.1证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间屮的完备子空间必是闭子集.证明：(1)设(尤°)是完备度量空I'可，/匸兀/是才的闭子集.若｛/｝是昇中的Cauchy列，贝I」｛鬲｝也是*中的Cauchy列.因(尤p)完备，故｛羯收敛于尤中某点乩而/是尤的闭子集，且｛兀｝是/屮的点列，故其极限『也在/屮.因此，｛羯是子空间昇中收敛列.所以，子空间U,°)是完备的.(2)设(尤°)是度量空I'可，B匚X,〃是力的完备子空间.若皿是〃中的点列，且在才中收敛于底尤贝！]｛对是尤中的Cauchy列，因此｛xj也是〃中的Cauchy列.由〃是尤的完备子空间，故｛/｝

2、也是〃屮的收敛列.若⑴在〃中收敛于圧〃，则｛尢｝作为/中的点列也收敛于y.由极限的唯一性，底y.故辰所以3是彳中的闭子集.1.1.4设厂是度量空间上的压缩映射，求证厂是连续的.证明：设(尤p)是度量空间，0〈a〈1,7:尤t/是满足p(TxtTy)0.而°(况，Tx)0.因此7连续.1.1.5设7’是压缩映射，求证7"(医N)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.证明：(1)设O；°)是度量空间，0<1,T:Xf尤是满足plTx,Ty)

3、•plx,y)(Vx,yeX)的压缩映射.V/zeN；若S二厂'是压缩映射，贝IJV^,yeX有!r｛p(T“'x,Ty)=p｛T'Tx),T"(〃))二p(S(7k),5(Ty))

4、,0(VJT,yw肘,xy).求证7’在曲屮存在唯一的不动点.证明：(反证法)假若厂在〃中没有不动点.显然，T在〃上是连续的，故函数p(x,7力在肘上连续且恒大于0.因〃是(P；°)中的有界闭集，故°匕，7>)在，”中某点乩处达到下确界.0<,7>0)

5、e、Y(S)ds=efy(f),(令z⑺=et)，讥t)=e「■(t)，则方程变为z{t)-Af(o.nz(s)ds=w(t).因此只要证明上面的方程有唯一解z(淀Q[0,1].设厂:C[0,1]—>C[0,1],(Tz)(t)=w{t)+2J[o,nz(s)ds.则X/zi,z2eC[0,1],I(7N)⑺-(7Z2)⑺丨=I2I・丨fo.u(zi(s)-Z2(s))dsI<1A1•f[0.1]Izi(s)-Z2(s)ds

6、zi(t)一购(Z)

7、；故PgTZ-2)

8、唯一不动点.即存在唯一的Z（“GC[0,1],使得z&）二形⑺+2fio,1]z（s）ds・1.2.2在一个度量空间（尤Q上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列.证明：必要性是显然的，只证明充分性.设｛对是才中的一个Cauchy列，且｛站有一个收敛子歹0｛和）｝,记xn（k）->x.V£>0,存在能N,使得0/〃，/?>沖都有p（x”，Xv）<£/2.对此&存在AeN,使得V&nX都有x）<£/2.令厶=max｛&M,贝切（必（°,X）<£/2,且/?（Z）>L>N・当刀》河吋，pg,必（o）<£/2.故pg,x）

9、/2=所以，XnfXI〃Tco）.因此｛局｝是尤中的收敛列.1.2.3设尸是只有有限项不为0的实数列全体，在尸上引进距离p（x,y）=supi

10、％

11、,英中/二gkF,y二EwF.求证（人p）不完备，并指11!它的完备化空问.证明：（1）首先，容易验证⑺p）是度量空间.V/zeN',令局二｛1,1/2,1/3,…，1//?,0,0,.・.｝,则xfleF.当加〉刀时，pg局）二supk>i

12、g严-&*

13、=max｛l/（z?+1）,1/（刀+2）,...,l/zv｝=1/（/?+1）t0（oo）.故｛如｝为F中的Cauchy列•下