数学与应用数学泛函分析

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1、衡阳师范学院毕业论文题目：浅析复变函数方法及应用所在系：数学与计算科学系专业：数学与应用数学学号：09090121作者姓名：李治霖指导教师：肖娟2013年5月6日浅析复变函数方法及其应用数学与计算科学系数学与应用数学09090121李治霖指导老师:肖娟摘要:解析函数是复变函论研究的主要对象,本文利用实分析的方法证明柯西定理,并对柯西定理的条件作了适当减弱,又利用解析函数及调和函数的性质给出代数基本定理的一个证明,可展成泰勒展式是圆盘内解析函数的一个重要性质，并利用泰勒展式给出圆盘边界零点满足圆盘内泰勒展式的条件.关键词：解析函数;调

2、和函数;泰勒展式0引言复变函数论是数学分析中的一个重要的部分，柯西积分定理和柯西积分公式在解析函数论中处于基础地位,复变函数论是分析数学的重要组成部分,解析函数是复变函数论研究的主要对象,它与调和函数之间有着本质的、密切的联系.复变函数是在数学分析的基础上建立起来的，从数学分析的角度去理解复变函数不仅可以加深对数学分析的理解，而且可以对复变函数有更原始的解读.本文还利用圆盘内解析函数具有泰勒展式的性质,证明了若解析函数在圆周边界上的零点满足一定的条件,则该点满足其在圆盘内的泰勒展式.如果解析函数的实部和虚部在圆盘内某一圆周上具有某些

3、确定的奇偶性质,则该函数必在圆盘内具有如本文所述的共轭对称性质.解析函数的泰勒展式还可以用来计算某些积分,本文最后给出了这样一个例子.1减弱条件下的柯西定理1.1非光滑函数的格林公式数学分析中的格林公式是在积分中讨论的,文献[4]利用实变函数知识，得到在积分中格林公式成立的条件，之所以把原文的证明过程引用过来,是因为在这里我们要指出在证明过程中,从积分到14积分可以有一个过渡,以方便我们对柯西定理的证明.下面我们把实分析中绝对连续的概念推广到平面矩形区域中的二元函数.设为中的矩形区域.定义设是矩形区域上的连续函数,对几乎所有的,若对

4、,使当是任意有限个互不相交的开区间,其总长度时,成立不等式,则称为上关于的绝对连续函数.若有界闭区域既是型区域又是型区域,即平行于坐标轴直线和的边界至多交于两个点,这时区域可以表示为：,或：,这里和分别为曲线和的方程.而和则分别是曲线和的方程,如图1：图1定义若是定义在既是型区域又是型区域的有界闭区域上的连续函数,设,其中,,定义在上的新函数这样构造的目的是使在上连续,而且对,有成立.如果为上关于的绝对连续函数,则称为上关于的绝对连续函数.若一般的有界区域可用几段光滑曲线分成有限个既是型又是型的子区域,在上连续且在每个子域上均为关于

5、的绝对连续函数,则称为上关于的绝对连续函数.定理1(非光滑函数的格林公式)设函数,均在有界闭区域上连续,,14均在域上可积,为内任一闭区域,且设为的边界曲线且取正方向.如若的边界和边界均由有限条分段连续函数曲线组成,则公式成立的充分必要条件是,分别为上关于和关于的绝对连续函数.证明根据区域的不同形状,分几种情形来证明.若区域既是型区域又是型区域,先证明.由于在上关于绝对连续,由定义,存在与相对应的及矩形区域,在上关于绝对连续.又由于在上可积,而在上,,故在上可积.由定理同理可以证明得将上述两等式相加得14若区域是由一条或几条按段光滑

6、的闭曲线围成,则先用几段光滑曲线将分成有限个既是型又是型的子区域.详细过程可参考文献或其他数学分析教材.有了上述结果,我们可以用实分析方法证明单连通域柯西定理,并由此发现单连通域柯西定理的关于区域边界的条件可以减弱.定理2(单连通域柯西定理)设是区域内的解析函数，则对于内任一简单逐段光滑封闭曲线有.证明设内一简单逐段光滑封闭曲线围成一有界单连通域,则在上解析,我们考虑既是型区域又是型的情形.设复函数,由的可微性可知，，，在上可测,且因为为有界闭,故在上有界.若不然设无界,不妨设其无上界,则对任意正整数,存在,使得>.因是有界点列,故

7、有某一收敛子列,设子列收敛到,则,显然不存在,与在点的可微性矛盾,所以在上有界.由此可知在上可积.同理可证，，均在上可积.由,，，的有界性可知都是上既关于又关于的绝对连续函数.由公式.结合柯西-黎曼条件可知此积分的实部和虚部都为零,故.若区域由一般的简单逐段光滑闭曲线围成,如图2所示：14图2则先用几段光滑曲线将分成有限个既是型又是型子区域,然后逐块按得到它们的结果,并相加即可,得证.由定理的证明过程可知,定理中的条件“是区域内的解析函数”只是充分的,我们可以将定理的条件减弱,写成如下的形式：定理3(减弱条件下的柯西定理)设是一简单

8、逐段光滑曲线,是以为边界的有界单连通域,在上连续,偏导数,,,在上有界,且满足柯西-黎曼条件:,,则对于内任一条简单逐段光滑封闭曲线有.这个定理也可以推广到为多连通域的情形.设为二连通域，如图3，它的边界由两条简单光滑封闭曲线,组成，