极限迫敛性的推广及其应用

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第2l卷第4期内江师范学院学报No．4Vo1．2lJOURNALOFNEIJIANGTEACHERSCOI，LEGE·l3·极限迫敛性的推广及其应用覃燕梅，吴开腾，张涛(内江师范学院数学系，四川内江641112)摘要：从一道极限题的错解谈起，对极限迫敛性进行了推广，用推广结论，较好的解决了一些极限问题，并由此强调教学研究的重要性．关键词：极限；迫敛性；微积分中图分类号：0171文献标识码：A文章编号：1671—1785(2006)04—0013一O3l引言命题1_J]：(极限的迫敛性)已知{)，{Y)，{)为实数列，

2、若有一正数Ⅳ，当n>N时，有≤Y≤2且limx一limz一d，则有一t⋯limy一口．⋯上述命题即极限的迫敛性是微积分学极限理论部分中的一个非常重要的性质，它在许多极限问题的证明和计算中有很重要的应用．而在迫敛性的实际应用中要寻找到满足条件的数列{)和{)，经常是困难的，这给迫敛性的应用带来一定的不便．本文先从一道极限问题的错解谈起，并由此受到启发，对迫敛性的条件适当减弱将其推广，然后用推广了的结论较好地解决了一些极限问题．2迪敛性的推广命题2[设，(z)在[d，6]上非负连续．证明吖■———一(1)～im√j()—Im∈[a川x{，())·证明设M—max{／’

3、())>0(若M=0，则，()i0，命题显然成立)．Ve>0(e

4、r6M—e≤1i，＼／l()dx≤M．(2)由￡的任意性，证得(1)式成立．吖———一注1上述证明是吴良森等嘲提供的．此命题需证明的结论实际上是两个，一个是要证明lim~／If(x)dx存在，另一个是要证明√

5、jrh(

6、)一max]{，())，而在其证明过程中从未给出√

7、j()的存在性的证明，(2)式却收稿日期：2006⋯0307作者简介：覃燕梅(1980一)，女，四川青神人，内江师范学院助教。维普资讯http://www.cqvip.com·14·内江师范学院学报第2l卷第4期直接承认了lim／I(x)dx的存在性，因此他们的证明不够完善．下面对此证明进行完善．⋯’Ja事实上，对(*)式两端分别取上下极限有M—e一(M—e)⋯l⋯im^√J广(z)z≤!miM6-a：M，M—e一而(M—e)≤巫≤~／一b-a—M．由e的任意性，可得lim√J广(z胁)如：M：im~／IV"c(

8、州z)办．·故有(1)式成立．即命题成立．由注1易知，只需(*)5~⋯lim一a—lni一m∞6一d一1成立，~1]⋯lim√lf"(x)dx存在．这是否具有一般性呢?下面定理回答了此问题．定理已知(z(e))，(())为实函数列，(Y)为一实数列，若有一正数Ⅳ，当n>N时，有z(e)≤Y≤z()(3)且limlimx(e)=limlimz()：d，则有0一∞目一0limy一d．证明令z(e)一limx(e)，z()=limz()．则对(3)两端取上下极限有一∞⋯z(e)一z(e)≤Y≤z()一z()，⋯⋯z(e)=limx(e)≤limy≤limz()一z()．

9、⋯⋯对上式，令e一0，—0和liralimx(e)一limlimz()一d，可得·0目一0Y一limY一d，lim3，=limlimy—d．⋯c⋯0一∞⋯0一即limy=d．⋯注2在定理中当z(e)，z()分别为e，的常值函数时，定理即为命题1(迫敛性)．并且定理条件中并未要求在一。。时，z(e)，z()的极限相等，这比迫敛性的条件要弱．因此定理可看成是极限迫敛性的推广．在实际应用中，寻求满足定理条件的z(e)，()也比迫敛性更为灵活，更为方便．3应用例1(Stolz定理)求证：对于数列(z)，(Y)满足Y+>Y，limy=+。。，若lim存在，则⋯⋯+llim：

10、lim兰!二⋯一⋯一+1一Y证明：设lim：d，则ve>o，3N>0，当n>N时，H十1．Ynd—e<生<日+e，一十1一Y即(YN+l—YN)一e)0。(n=1，2⋯)，故(1一)(d—e)<一XN<(1一)(d+e)，nnt又因为limlim(1一)(d—e)一d—limlim(1一)(n+

11、e)，由定