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1、函数项级数敛散性的判别方法及其应用DiscriminationMethodsofConvergenceandDivergenceofSeriesof FunctionsandItsApplication专业:数学与应用数学作者:指导老师:二○一五年五月摘要本文介绍了函数项级数敛散性判别法，如柯西判别法、阿贝尔判别法、达朗贝尔判别法和它们的极限形式，以及多种特殊函数项级数敛散性的判别方法.然后介绍了这些判别法在实际解题中的应用.本文探究和总结了一些判别函数项级数敛散性的方法,为今后处理函数项级数敛散性的判别提供理论基础.关键词:函数项级数;一致收敛;判别法;IAbstractThi
2、spaperintroducesdiscriminationmethodsofconvergenceanddivergenceofseriesoffunctions,suchasCauchycriterion,Abeldiscriminationmethod, DarrenBelldiscrimina-tionmethodandtheirrespectiveforms,andseriesofdiscriminationmethodsofconvergenceanddivergenceofavarietyofspecialfunctions.Thenthepaperintroduc
3、esthesedisctimina-tionmethodsintheapplicationofthepracticalproblems.Thispaperdiscussesandsummari-zesdiscriminationmethodsofconvergenceanddivergenceofseriesoffunctions,whichpro-videtheoryforpracticalproblems.Keywords: seriesoffunctions,uniformconvergence,discriminationmethodIII目录0引言11预备知识12函数项
4、级数敛散性的判别方法23判别法的一些应用……………………………………….…………………………………………….…......6致谢11参考文献120引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具
5、有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理.最后用一些实际例题来验证这些判别法.1预备知识设为一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.该函数也可简单地写作或,.定义设函数列与函数定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切,都有,那么称函数列在上一致收敛于,记作,.设为定义在数集上的一个函数列,则称为定义在上的函数项级数,简记为,并称第12页共16页为函数项级数的部分和函数列.定义若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛
6、于,则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.2函数项级数敛散性的判别方法定理（柯西一致收敛准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件：对于任意的正数,总存在个某正整数,使得当时,对一切和一切正整数都有
7、
8、<或
9、
10、<.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间上形如（2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件为，,,，使得.这里最关键的是要找出与及之间的关系，然后凑出，此类型题目也有一个简便方法，即取能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．推
11、论2函数列在数集上非一致收敛于0，那么函数项级数在数集上非一致收敛．第12页共16页推论3如果函数项级数在区间上逐点收敛，并在区间中存在点列，使，有函数项级数在区间上非一致收敛．定理2[1]（判别法）设定义在数集上的函数项级数,为收敛的正项级数,如果对一切,有那么函数项级数在上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设(1)在区间上一致收敛;(2)对于每一个是单调的；(3)在上一致有界,即对任意和正整数n,存在正数M,使那么原级数在上一致收敛.定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）的
