6敛散性的判别方法及其应用(修改版)

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1、正项级数敛散性的判别方法及其应用正项级数敛散性的判别方法及其应用数学与应用数学专业学生：王万超指导教师：邹庆云摘要：正项级数敛散的判别方法是一个重要而有趣的数学课题，关于正项级数的敛散性尽管已经有不少经典性的判别法，然而对正项级数敛散性的探索与研究至今还在继续与深入，并且获得了一些新的知识与发现。本文首先论述了正项级数的概念，接着重点阐述了正项级数敛散性的几种判别方法（比较原则、达朗贝尔判别法、柯西判别法、积分判别法、拉贝判别法、），最后，探讨了正项级数敛散性判别方法的应用，并对各种判别法进行了分析、举例。关键词：正项级数，敛散性，判别方法，应用。Abstract:Theconv

2、ergenceofpositiveseriesofdiscriminationisanimportantandinterestingtopicofmathematics,onthepositiveseriesdespitetheconvergenceoftheclassichasalotofdiscriminationlaw,buttheseriesistheconvergenceoftheExplorationandresearchhascontinuedandin-depth,andhasanumberofnewknowledgeanddiscovery.Thispaperd

3、iscussestheconceptofpositiveseries,andthenfocusonthepositiveseriesconvergenceofthediscriminationofseveralmethods(comparedprinciple,d'AlembertDiscriminationAct,CauchyTest,IntegralTest,RabeTest,),Andfinally,onapositiveseriesconvergenceoftheapplicationofmethodsofdiscriminationanddiscriminationof

4、allkindswereanalyzed,forexample.Keywords:positiveseries,ConvergenceandDivergence,determinemethods,applications.1引言近年来,对正项级数收敛性问题又有一些新的研究得到了一些新的敛散性判别法与相关命题，这些新结果是对正项级数敛散性理论中原有命题的有力改进和补充。当级数在时为正项级数。判定其敛散性有许多方法，常用的有达朗贝尔判别法，柯西判别法等。但有些级数用此二法不能判别其敛散性。如判定的敛散性，用达朗贝尔判别法知-13-正项级数敛散性的判别方法及其应用。此时达朗贝尔判别法失

5、效。对于此类级数，若用达朗贝尔或柯西判别法判定其敛散性失效后，除可考虑用比较判别法等其他判别法判别外，我们还可以用以下得出的新方法来判定这类级数的敛散性。2正项级数敛散性的判别方法同号级数都是由正数组成的级数称为正项级数。2.1比较原则根据比较原则，可以利用已知收敛或发散作为比较对象来判别其他级数的敛散性。定理1设和是两个正项级数，如果存在某正数，对一切都有，则（i）若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散。证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性因此不妨设对一切正整数都成立。现分别以和记级数与的部分和，由推得，对一切正整数，都有若收敛，即存在，则由知对一

6、切有，即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛。这就证明了（i）;（ii）是（i）的逆否命题，自然成立。推论1设，是两个正项级数，若，则（i）当时，级数、-13-正项级数敛散性的判别方法及其应用同时收敛或同时发散；（ii）当且级数收敛时，级数也收敛；（iii）当且级数发散时，级数也发散。证由，对任给正数，存在某正数，当时，恒有或.由比较原则及推得，当（这里设）时，级数与同时收敛或同时发散。这就证得（i）。对于（ii），当时，由及比较原则可得：若级数收敛，则级数也收敛。对于（iii），若，即对任给的正数，存在相应的正数，当时，都有或.于是由比较原则知道，若级数发散，则级数也发散。2.

7、2达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法也叫比式判别法，是以等比级数作为比较对象而得到的。定理2设为正项级数，且存在某正整数及常数（）。（i）若对一切，成立不等式，则级数收敛。（ii）若对一切，成立不等式则级数发散。-13-正项级数敛散性的判别方法及其应用证（i）不妨设不等式对一切成立，于是有，，，，.把前个不等式按项相乘后，得到或者。由于当时，等比级数收敛，根据比较原则及可推得级数收敛。（ii）由于时成立不等式，即有.于是当时，的极限不可能为零。故级数是发散的。推论2若为正项级数，且，则