积分法求解无穷级数的敛散性的推广分析

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1、中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn积分法求解无穷级数的敛散性的推广分析邱烨，高战，高亚茹中国矿业大学计算机科学与技术学院，徐州(221008)E-mail：qy_basketball_88@126.com摘要：本文介绍了无穷级数与广义积分及其敛散性的判别方法,讨论了级数与广义积分的内在联系，给出了由此产生的一种无穷级数敛散性的判别法即柯西积分判别法，从而建立起了无穷积分与无穷级数敛散性之间的联系,为无穷级数敛散性的判别，提供了一个简便的方法.并在此基础上给出了通项为复合函数的级数敛散性的积分判别法.最后，给出了现行的数学分析、微积分与

2、高等数学的教材中柯西积分判别法的一个新证明，获得了这个判别法的一个推广，由此得到一批渐进公式与命题.关键词：广义积分；柯西积分判别法；无穷级数；收敛；发散。1.引言级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数．级数的收敛问题是级数理论的基本问题．判断级数的敛散性具有重要意义.判断一个级数收敛可以为它值的逼近提供一个理论支持.在很多情况下，所求方程往往得不到精确解，只能利用迭代的方法求出级数解（例如一阶常微分方程的

3、皮卡逼近法），那么这个解是否收敛就十分重要了．“转化”是数学中最基本的思想方法之一，它贯穿于整个微积分学中．有意识地将所学知识系统归纳总结，有利于把握知识结构的整体性、联系性、相关性，利于融会贯通．数学分析中，级数、广义积分通过极限这个桥梁联系在一起．在一定条件下把级数的敛散性问题转化为广义积分的敛散性问题，从而为某些级数的敛散性的判别提供了一种有效的解决途径．柯西积分判别法及其推论与推广建立起了无穷积分与无穷级数之间的联系,为无穷级数敛散性的判别,提供了一个简便的方法．本文在此基础上对积分法求解无穷级数的敛散性作了一下总结．2.无穷级数及其敛散性2.1无穷级数

4、及其敛散性的定义[1]定义1.1给定一个数列{u}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式nuu++++...u...(1.1)12n称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中u称为数项级数(1.1)的通项．n∞数项级数(1.1)也常写作∑un或简单写作∑un．n=1数项级数(1.1)的前n项之和，记为nSunk==∑u12+uu+...+n,k=1称它为数项级数(1.1)的第n个部分和，也简称部分和．[1]定义1.2若数项级数(1.1)的部分和数列{S}收敛于S(即lim=S)，则称数项级数nn→∞-1-中国科技论文在线http://www.paper.e

5、du.cn(1.1)收敛，称S为数项级数(1.1)的和，记作Suu=++++12...unn...或S=∑u．若{S}是发散数列，则称数项级数(1.1)发散．n2.2正项级数敛散性的一般判别法各项都是由正数组成的无穷级数，称为正项级数．如果级数的各项都是负数，则它乘以−1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性．[2]判断正项级数∑an的敛散性，通常有如下方法：⑴若通项an不趋于0（当n→∞时），则∑an发散．⑵如果a→0（当n→∞时），并且相对1/n来讲，它是p阶的无穷小量，那么当np>1时，级数∑an收敛；若p≤1时，级数∑an发散．⑶部分和数列有界，则正

6、项级数∑an收敛．⑷寻找比较级数∑bn．若要证明∑an收敛，应设法将an放大为bn，使得0≤≤abnn，且∑bn收敛，从而证得∑an收敛．若要证明∑an发散，应将an缩小为cn，使得0≤≤cann，且∑cn发散，从而证得∑an发散．⑸达朗贝尔判别法（或称比式判别法）an+1设∑an为正项级数，若lim=q,则：n→∞an①当q<1时，级数∑an收敛；②当q>1或q=+∞时，级数∑an发散．⑹根式判别法设∑a为正项级数，且limnul=,则：nnn→∞①当l<1时，级数∑an收敛；②当l>1时，级数∑an发散．3.柯西积分判别法判断某些正项级数的敛散性，有时用以上

7、几种判别法比较繁琐，而用下面的柯西积分判别法(简称积分法)求解却比较简单．[1]定理2.1（柯西积分判别法）若递减函数f()x在[1,+∞)上非负，则级数∑f()n+∞与广义积分∫f()xdx同时收敛或同时发散．1此定理具有重要意义，它告诉我们：建立起广义积分与无穷级数之间的联系以后，判别无穷级数的敛散性，可以通过一个广义积分来进行，从而把一个较为困难的无穷级数判别敛散问题，转化成一个较容易的广义积分判别敛散问题．-2-中国科技论文在线http://www.paper.edu.cn3.1广义积分及其敛散性判别广义积分是变上限(或下限)定积分所确定的函数的极限,它

8、包括无穷限广义积分（简称