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1、第八章多元函数积分第一节二重积分的概念及性质教学目标：理解二重积分的概念及其性质教学重点：二重积分的性质及应用教学过程：一、二重积分的概念（１）曲顶柱体的体积（２）平面薄片的质量这两种实际意义完全不同的问题，最终都归结为同一形式的极限问题，因此我们抽象出一个数学概念即二重积分．定义设f(,)xy是有界闭域D上的有界函数，将区域D分成n个小区域ΔΔσ,σσ,...,Δ12n其中Δσ既表示第i个小区域，也表示它的面积，λ表示它的直径.iiλ=∀max{}(,)λξησ∈Δiiii1≤≤in作乘积f(,)ξησΔ=(in1,2,...,)iiin作和式∑f(
2、,)ξiiησΔii=1n若极限lim∑f(,)ξiiησΔi存在，则称此极限值为函数f(,)xy在闭域D上的二重积λ→0i=1分，记作∫∫f(,)xydσ．即Dn∫∫fxyd(,)σ=lim∑f(,)ξησiiΔiλ→0Di=1其中，f(,)xy称为被积函数，f(,)xydσ称为被积表达式，dσ称为面积元素，x,y称为n积分变量，D称为积分区域，∑f(,)ξiiηΔσi称为被积表达式．i=1几个事实：①若f(,)xy在有界闭区域D上连续，则称f(,)xy在D上的二重积分存在．在以后的讨论中，我们总假定二重积分存在．②f(,)xydσ中的面积元素dσ象
3、征着积分和式中的Δσ，二重积分也可以表示成为∫∫iD∫∫f(,)xydxdyD③若fxy(,)0≥，二重积分表示以f(,)xy为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积．④对于二重积分的定义并没有限定fxy(,)0≥．容易看出，当fxy(,)0≥时，二重积分∫∫f(,)xydσ在几何上就是以zf=(,)xy为曲顶，以D为底且母线平行于z轴的曲顶主D体体积．二、二重积分的性质①线性∫∫[αβ⋅+f(,)xy⋅gxyd(,)]σα=∫∫fxyd(,)σ+β∫∫gxyd(,)σ其中α,β是常数．DDD②对区域的可加性若区域D分为两个部分区域DD,，则f(,)xydσ=
4、+fxyd(,)σσfxyd(,)12∫∫∫∫∫∫DDD12③若在D上fxy(,)1≡，σ为区域D的面积，则σ==∫∫1ddσσ∫∫DD几何意义：高为１的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．④若在D上，f(,)xy≤ϕ(,)xy，则有不等式∫∫f(,)xydσϕ≤∫∫(,)xydσDD特别的，由于−≤≤
5、(,)
6、(,)
7、(,)
8、fxyfxyfxy，有
9、(∫∫fxyd,)
10、
11、σϕ≤∫∫(xyd,)
12、σDD⑤估值不等式设M和m分别是f(,)xy在闭区域D上的最大值与最小值，σ为区域D的面积，则mf⋅≤σ∫∫(,)xydσσ≤⋅MD⑥二重积分的中值定理设
13、函数f(,)xy在区域D上连续，σ为区域D的面积，则在D上至少存在一点(,ξη)，使得∫∫fxyd(,)σξ=⋅f(,)ησD证：由性质⑤，得mf⋅σ≤≤∫∫(,)xydσσM⋅其中M和m分别是f(,)xy在闭区域D上D11的最大值与最小值．于是mf≤⋅∫∫(,)xydσ≤M．即⋅∫∫f(,)xydσ是介于M和mσσDD之间．根据闭区域上连续函数的介值定理知在区域D上至少存在一点(,)ξη使得1f(,)ξησ=⋅∫∫fxyd(,)即σD∫∫fxyd(,)σξ=f(,)η⋅σD2222例估计二重积分Ｉ＝∫∫(2x+−5yd6)σ的值，D是区域xy+≤9．
14、D22解求被积函数25xy+−6在区域D上可能的最值⎧∂f==40x⎪⎪∂x⎨⎪∂f==10y0⎪⎩∂x(0,0)是驻点，且f(0,0)＝－６；在边界上222fxy(,)2=+−−=−−x5(9x)6393(3x≤≤x3)12≤≤fxy(,)39fx(,)39,y==fx(,)y−6maxmin所以−=54π−69⋅≤≤⋅=ππI399358π课后小结：本节主要讲述了二重积分的概念和性质，同学们着重理解二重积分的概念和几何意义以及二重积分性质的应用．课后作业：课后习题NO.1,2第二节二重积分的计算教学目标：对二重积分进行计算．教学重点：计算二重积分的
15、技巧．教学过程：一、利用直角坐标系计算二重积分１、矩形区域上的二重积分⎧axb≤≤设f(,)xy在矩形区域⎨上是连续且可积的⎩cyd≤≤bddb∫∫f(,)xydσ==∫acdxfxydy∫(,)∫cadyfxydx∫(,)D⎧02≤x≤22例１∫∫(2x++xyydxdy)区域D：⎨⎩03≤y≤D232222解∫∫(2x++xyydxdy)=∫00dx∫(2x++xyydy)D2992322=+(6xxd+=9)xxxx[2++9]=43∫0024２、一般区域上的二重积分积分区域D为X－型：ϕ()x≤≤yϕ()x，axb≤≤12ϕ(),()xϕx在区
16、间[,ab]上连续．12积分区域D为Y－型：ϕ()y≤≤xyϕ()，cyd≤≤12ϕ(),()
