排队论中一类动力算子的性质1

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1、排队论中一类动力算子的性质陈永1引言重新访问的排队系统描述的是现实生活中这样一种现象:当一个顾客到来时发现所有的服务台都处于繁忙状态,于是被迫离开服务区,加入到一个未获得满足的顾客群(通常被称为阻塞顾客圈),经过某一随机时间后再次访问服务台.这种模型被广泛应用于大量的实际问题中如电话交换系统,电信网络系统以及计算机众多任务同时抢占cpu资源等等.并且重新访问排队模型还被用于开关网络系统和在承载形检测多重通道控制下的公共汽车局域网.文献[3][]9和[]10是关于重新排队模型的最近文献.实际工作者对排队系统的研究主要是在系统解的存在性和

2、动态解的渐进性质的假设下进行，从理论的角度看这些都是需要证明的.近年来,各国数学工作者利用泛函分析方法来研究各种随机系统,比如排队系统和可修性系统,以解决随机建模的系统的适定性及稳定性问题已经成为研究发展主流.例如，J.R.Artalejo[2]，C.Langaris[5]，V.A.Kapyrin[]8，K.Farahmand[11]和许跟起[]12等在这方面做了很好的工作.在他们的研究中,主要基于Lumer-Phillips定理,表明系统所确定的算子是一个闭稠定耗散算子,然后证明开右半平面属于算子的预解集,从而算子生成C压缩半群,完

3、成系统的适定性0证明，解决了系统动态解的存在性.大部分研究重新访问排队系统的文章，一般都考虑系统的无反馈情况，然而更多实际的重复实验排队系统是带有反馈的，这里考虑的是一个单服务台带有反馈和起动故障的M/G/1重新访问排队系统.系统特点如下：如果系统完成一个服务后，处于空闲状态，此时服务台停止服务.如果系统处于繁忙状态，此时，另一个服务以概率p开始，或者以概率q=1−p()q>0处于休息状态.当繁忙状态结束，如果此时有新顾客出现在系统中，服务成功，否则服务台将等待直到下一个顾客到来.文章[1][4][6][7]和[12]中研究了一个带有

4、贝努利过程和广义的重新访问时间的M/G/1排队模型单服务系统.Kumar等人给出了该系统稳定性的充要条件.1本文的结构如下：在第二部分，我们简要介绍了基本方程.通过设定系统的状态空间，将原来的问题写成一个状态空间中的抽象发展方程，从而使得我们能利用泛函分析方法去处理.第三部分，我们证明了系统所确定算子为闭稠定算子线性算子.2基本方程从文献[]1，微分方程组由下列模型来描述：dpt0()+∞=−ληpt00()+∫()()xRxtdx,,2.1()dt0∂∂Pxtnn(),,Pxt()+=−⎡⎤⎣⎦λ+rxPxt()n(),,n=1,2

5、,L,2.2()∂∂tx∂∂Qxt00(),,Qxt()+=−⎡⎤⎣⎦λμ+()xQxt0(),,2.3()∂∂tx∂∂Qxtnn(),,Qxt()+=−⎡⎤⎣⎦λμ+()()xQxtnn,+λQxt−1(),,n=2,3,L,2.4()∂∂tx∂∂Rxt00(),,Rxt()+=−⎡⎤⎣⎦λη+()xRxt0(),,2.5()∂∂tx∂∂Rxtnn(),,Rxt()+=−⎡⎤⎣⎦λη+()()xRxtRxtnn,+λ−1(),,n=2,3,L,2.6()∂∂tx具有边界条件：++∞∞Ptpnnn()0,=+∫∫μη()()xQx,t

6、dx()()xRx,tdx,n=1,2,L,2.7()00+∞Qt01()0,=+∫rx()()Px,tdxPtλ0(),2.8()0+∞+∞Qtnnn()0,=+∫∫rx()()Px+1,tdxλPx(),tdx,n=1,2,L,2.9()00+∞Rt00()0,=∫μ()()xQx,tdx,2.10()0+∞Rtnn()0,=q∫μ()()xQx,tdx,n=1,2,L,2.11()0正规化条件：∞+∞+∞+∞+∞∞+P+∫Q()xdx+∫R()xdx+∑⎡∫P()xdx+∫∫Q()xdx+R()xdx⎤=100000⎢⎣0n0n

7、0n⎥⎦n=0以及初始条件P(0)=1.02显而易见，文献[]1中的结果是建立在下列假设条件的基础上的.1）模型存在唯一的非负解P(t),P(x,t),Q(x,t),Q(x,t)()(),Rx,t,Rx,t.0n0n0n2）存在极限：limPtP()=，limPxtPx(,)=()，limQxtQx(,)(=)，00nn00t→+∞t→+∞t→+∞limQxtQxnn(),=()，limR00()xt,=Rx()，limRnn(xt,)=Rx()，n=1,2,L,t→+∞t→+∞t→+∞我们知道上述假设并不能总是成立，这就需要证明它的

8、正确性.基于此，在这篇文章中，我们研究系统的适定性.3系统适定性分析+设R是整数集，R是非负整数集，Ν是一个非负自然数集，特别地，+1Ω=R×Ν，L()Ω={f()x,n:∫Ωf(x,n)dxdn<+∞},f1=∫Ωf(