一类新型Baskakov算子的保形性质.pdf

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1、第34卷第5期杭州电子科技大学学报V01．34．No．52014年9月JournalofHangzhouDianziUniversitySep．2014一类新型Baskakov算子的保形性质吴鹏，胡晓敏，莫庆峰(杭州电子科技大学数学研究所，浙江杭州310018)摘要：Baskakov算子的保形性质具有重要的研究价值。该文介绍了一类含参量的新型Baskakov算子，并给出其在保持凸性、单调性以及单调逼近性质上的证明，得到3个与经典Baskakov算子的保形性质相联系的结论。关键词：巴斯卡科夫算子；凸性；单调性；单调逼近性中图分类号：0174．41文献标识码：A文章编号：1001—9146(2

2、014)05—0054—030引言保形逼近是函数逼近论研究的一大课题，算子保形性的研究对其它学科也具有重要的现实意义。有学者研究表明经典的Baskakov算子具有保持原函数的单调性、凸性、光滑性、变差减少性、Lipschitz函数类等性质I2]。文献[3]研究了经典的Baskakov-Kantorovich算子的保形性质，文献[4]给出了一种含有参量的Baskakov变形算子保形性质的证明。但是对于含有变量的Baskakov—Kantorovich算子，却很少有相关的结论。本文的目的是提出一类含参量的新型Baskakov—Kantorovich算子，并采用和经典Baskakov算子类似的证

3、明方法来研究该新型Baskakov算子的保形性质，推广了保形性质的适用范围。1相关定义及引理’定义1函数，∈C[0，o。)，那么所对应的经典的Baskakov算子为：加=))㈩定义2函数，∈C[0，∞)，文献[4]中定义了一类新型Baskakov算子为：c加=))t>。定义3本文讨论推广的是式(2)的Kantorovich变形：k+l加=。(n)tu、)，、1TLA㈩k0K式中，t>0，(n)=n+0f()，(n)1>0，且lim=0。特别地，当(n)=0，t=1时，式(3)即为经典的Baskakov．Kantorovich算子。文献[4]证明了关于B(f；x)的保形性，得到以下结论：1)

4、单调性。如果f(x)关于自变量x是单调增的，那么对每一个正整数n，(／；)也是单调递增的；收稿日期：2013—11—27作者简介：吴鹏(1990一)，女，河南南阳人，在读研究生，函数逼近论．第5期吴鹏等：一类新型Baskakov算子的保形性质552)曲性。叉口呆八)天十目重x是曲嗣，那么盯母一，r止整致n，．U；J是曲日习；3)单调逼近性质。若，()是凸函数，则对任意的x∈[0，+∞)和n∈N，都成立B(；)≥B(，；)≥⋯)。2主要结果及证明定理1若厂是单调增函数，则否(；)也是单调递增函数。证明对正算子云¨(；)关于自变量x求一阶导数否(，；)={()tk+lu)du(n+k)}=cn

5、took+ldu(n+)()=cn，tk+l“du(”+k)fktX一tXk(n+k)1I(1+tx)(1+tx)J。当k=j时，有：u){一)=u(’一u)㈩当k=j+1时，有：u({一)=u(IJn+1j)J(1+tx)n+j“一J一u㈦＼J+1)J(1+tx)州㈤因)=n=n+J／)(j+1)’贝IJ)的第二个积分和式(5)的第一个积分可以合并得u)一u)=n{霹c扯)-f(u)]du)，所以c加⋯㈩{寡[+)一]du}。若是单调递增的，财有加)≥，故d云(，；)≥0，所以云(；)是单调增函数。x定理2若厂是凸函数，则()也是凸函数。()关于求二阶导得d2云证明仿照定理1的计算，云。

6、，(厂；)：(n)n(n+1)t一{ri+32i+2i+1u1}咖(n+{赓)一+))]du)。若，是有56杭州电子科技大学学报2014正u+)一+)+厂(u)1>Oo故d2云(，；)≥0，所以云叫(，；)是凸函数。定理3若厂是单调递增的凸函数，并且(n)关于n是单调递增，则对任意的x∈[0，∞)，云(／；)≥云n+l(／；)≥⋯≥)。．t,证明定义，()÷上，(“)du，(x∈E0，∞)，t>0)，则日(，．)=8(；)，因景㈤()：=————生一，若蝴)为增函数，则⋯+)t_—Jx州Ⅱ)du>0卿，即有dt㈤()>0，'所以c()关于t是单调增加的。若(n)关于n是单调递增的，那么关于

7、n是单调递减的，然后由复合函数的单调性，易证()关于n是单调递减的。由文献[33定理1有B()≥日二(厂；)≥⋯≥)成立，所以对于m≥n，日叫(厂；)=(赤；)≥t(；)≥，(；)=B(厂；)，即证()关于n是单调递减的。，3结束语本文给出了一类含有参量t的Baskakov算子的Kantorovich变形，并研究了该变形算子的保形性质，得到变形的算子与经典的Baskakov算子在保形性上具有一致的地方。本文的研究扩展了算