第十一章. 分离变量法

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1、第11章　　分离变量法1.补充：三角函数的正交性lmxπnxπ(1)Id=∫coscosx=?(mnmn≠及=)0ll1备忘：coscosαβα=+[cos(βα)cos(+−β)]21()()lmnx+πmnx−πId=+∫[coscos]x20ll12lnlπm=n时：Ix=∫(cos+=1)dx220lm≠n时1()()lmnx+−ππmnxId=+∫[coscos]x20ll1(lmnx+−)ππl(mnx)l=+[sinsin]02(mn+−)ππl(mn)l=0lmxπnxπl∴coscosdx=δ∫mn,0ll2lmxnxπ

2、π(2)Id==∫0sinllsinx?1sinsinαβα=−[cos(+β)cos(−α−β)]21()()lmnx+πmnx−πId=−∫0[cos−cos]x2llm=n:l2mxπlId=∫0sinx=l2mn≠:1(lmnx+−)ππl(mnx)lI=−[sin−sin]02(mn+−)ππl(mn)l=0lmxnxππl∴sinsindx=δ∫0mn,ll2∞nxπ(3)若ϕ()xc=∑nsinl，求cn=?n=1mxπ两边乘以sin后，对x由0到l积分l∞llmxπmxnxππ∫∫ϕ()sinxdx=∑cnsinsindx

3、00llln=1∞ll==∑ccδnm,nmn=1222lmxπ∴cxd==ϕ()sinx(m1,2,3)?mll∫0即2lnxπcxd==ϕ()sinx(1,2,3)n?nll∫0∞nxπ(4)若ψ()xc=∑ncos，求cn=?n=0l∞llmxπmxππnx∫∫ψ()cosxdx=∑cncoscosdx00llln=0∞ll==∑ccnmδ,nmn=0222lnxπ∴cxd=ψ()cosxn∫ll0∞nx3x(5)ππ，求c=?∑cncos=+250cosnn=0llcccn=2,==≠50,0(0,3)03n2.分离变量法的基本思

4、想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。(1)叠加原理：几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)这种因果规律如果用数学关系式来描述（代数式、微分方程、积分方程等），那么所得的关系式是线性的。叠加原理对于用线性方程描述的物理现象来说都是成立的。(数学上)(2)分离变量法的物理来源——驻波驻波的形成：两列反向行进的同频率的波的叠加。uA=cos(ωtk−=+xuA)cos(ωtkx)12uuu=+=2cos2Aωtcos2k

5、x(时间变量与空间变量分离)12u(x,t)=X(x)T(t)驻波的一般表示：把这种具有变量分离形式的特殊解作为尝试解去解偏微分方程，如果得到了方程的解，再由解的唯一性就可以保证尝试解的正确性。(3)分离变量法的特点a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证；b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。(4)分离变量法的适用范围波动问题、输运问题、稳定场问题等(比行波法适用的范围要广)11.1直角坐标系中的分离变量法一、齐次方程及齐次边界条件的定解问题例：求两端固定的弦自由振动的规律解：定解问题2uau−=<0(0xlt

6、<>,0)(1)ttxxut(0,)=0,ult(,)=0(2)ux(,0)(),xux(,0)()x(3)=ϕ=ψt1.分离变量令(4)u(x,t)=X(x)T(t)2将(4)代入泛定方程(1)，得到：Χ()()xTt′′−Χa′′()()0xTt=Χ′′′()xTt′()⇒==常数（与，均无关）xt2Χ()xaT()t设常数为−λ，得到两个常微分方程Χ′′()xx+Χ=λ()0(5)2Tt′′()+λaTt()0=(6)说明：在分离变量过程中引入的参数的取值要由边界条件来确定。将(4)代入边界条件——边界条件分离变量ut(0,)=0Χ

7、(0)()Tt=0ult(,)0=⇒Χ()()0lTt=这有两种可能(1)T(t)=0则u(x,t)=0—弦保持静止，即u(x,t)=0是平庸解，略去(2)T(t)≠0，则得到X(x)的边界条件Χ(0)=Χ=0()l0(7)2.求解本征值问题(5)及(7)式构成了常微分方程的边值问题Χ′′()xx+Χ=λ()0即求＝？和λΧ()x=？Χ()0,xl=Χ=()0以后发现：λ只有取某些特殊值，方程才有满足边界条件的非平庸解。这些λ值称为本征值，相对应的解X(x)λ称为本征函数。求解与的问题称为本征值问题。X(x)λλ对于λ，分三种情况讨论：(

8、i)若<0，方程的通解为：−−λx−λxλXx()=+AeBe由边界条件可得到：A+B=0−−λλLL−AeB+e=0因此，A=0，B=0，X(x)=0(平庸解，略去)(ii)若λ=0，方程的