数学物理方程分离变量法

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1、第二章分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论基本思想：（1）求出具有变量分离形式且满足边界条件的解;特点：偏微分方程化为常微分方程（2）由叠加原理作出这些解的线性组合；特点：叠加原理（3）由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等实根特征根通解求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。二阶常系数齐次线性微分方程特征根通解求方程的通解的步骤为：(1)写出微分方

2、程的特征方程(2)求出特征根，(3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。二阶常系数齐次线性微分方程解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。令带入方程：令带入边界条件1求两端固定的弦自由振动的规律一有界弦的自由振动分情况讨论：1）2）3）令，为非零实数特征值问题特征值与特征函数步骤2，叠加原理做出解的线性组合。步骤3，其余的定解条件求出系数。▪分离变量▪求特征值和特征函数▪求另一个函数▪求通解▪确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。2解的性质x=x0时：其中：驻波法t=t0时：例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为，求弦作微

3、小横向振动时的位移。解：弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。解：例2求下列定解问题初始条件若l=1,a=10时的震动。上述方程实际是个单簧管振动模型直径均匀的细管，一端封闭，一端开放例3求下列定解问题解：令带入方程：令例4求下列定解问题解：二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题1直角坐标系下的拉普拉斯问题解：矩形区域解：令，2圆域内的拉普拉斯问题圆形区域第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解把上式代入微分方程可得：即从而，我们可得到常微分方程：与：周期本征值问题欧拉方程再利用定解条件可得：第二步：求解周期本征值问题和欧

4、拉方程第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解再利用边界条件，有:例5求下列定解问题解：欧拉方程令其它为零四非齐次方程的解法求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解叠加成非齐次解思考令：令：为什么？例6求下列定解问题解：先解对应的齐次问题