第十二章分离变量法ppt课件.ppt

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1、第十二章分离变量法本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题第十二章分离变量法问题的引入(1)(2)(3)行波法达朗贝尔公式前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制．本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法．其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．第十二章分离变量法本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌

2、握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题掌握求解非齐次方程的本征函数展开法掌握将非齐次边界条件齐次化的方法着重掌握在柱、球坐标系中对和分离变量会得到哪些特殊函数微分方程12.1分离变量理论对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程12.1.1偏微分方程变量分离及条件对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？（12.1.1）通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：(12.1.2)根据方程(12.1.2)类型直接可知：方程是双曲型的它是抛物型的它是椭圆型的假设（12.1.2）的解有下列分离的形式其中(12.1.3)分别是单个变量的二次可微函数。代

3、入(12.1.2)即有(12.1.4)1.常系数偏微分方程讨论:若（12.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的代表，将方程两边同除以XY,则要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为，从而得到两个常微分方程2.变系数偏微分方程对于变系数函数，假设存在某一个函数，使得方程除以后变为可分离的形式上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为，从而得到两个常微分方程由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的函数才能实施变量分离．但对于变系数的二阶偏微分齐次方程第一类边界条件第二类边

4、界条件12.1.2边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的三类边界条件为假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：第三类边界条件可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系．求定解问题的不恒等于零的解须因此得12.2直角坐标系中的分离变量法12.2.1分离变量法介绍例12.2.1：具体考虑长为，两端固定的均匀弦的自由振动泛定方程（12.2.１）（12.2.２）初始条件（12.2.３）边界条件【解】第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题

5、，具体分如下四个步骤：变量分离形式的试探解代入（12.2.１）和（12.2.２）定解问题的泛定方程变为偏微分方程分离成两个常微分方程:(12.2.4)(12.2.5)也不依赖于x的常数，不妨设常数为要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,(12.2.6)否则得零解，对于齐次微分方程是无意义．我们所谓的求解是指的求出非零解由齐次边界条件有（12.2.7）故得边界条件是齐次的，才得出（12.2.７）这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．第二步：求解本征值（或称为固有值）问题上面推导的方程（12.2.5）（12.2.7）注意：本征值不能任意取，只

6、能根据边界条件（12.2.7）取某些特定值。本征函数不同（12.2.5）所对应的解本征值问题求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题定义：二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况：得常系数微分方程的通解：附录:（12.2.5）的解为（１）和由（12.2.７）确定，即有三种可能逐一加以分析求解（12.2.5），将由此解出被排除（２）、方程（12.2.5）的解是解出和由（12.2.7）确定，即也被排除．（12.2.5）的解如，则仍然解出（３）和由（12.2.7）确定，即只剩下一种可能性：（12.2.8）与对应的函数为（12.2.9）（12.2.9）正是傅里叶正

7、弦级数的基本函数族．常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数．方程（12.2.5）和条件（12.2.7）则构成本征值问题或固有值问题．第三步：先求特解，再叠加求出通解（12.2.10）方程的解：（12.2.11）其中和是待定常数．，由方程（12.2.4）求出相应的对于每一个本征值（12.2.12）（12.2.9）和（12.2.11）代入到解得到变量分离形式的特解这就是满足(12.2.1)和条件（12.2.2）的通解（12.2.13）线性叠加后的解初始条件(12.2.3)确定叠加系数（12.2.14）第四步:利用本征函数的正交归一性确定待定系数至此，定解