复变函数1new

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1、引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程xx(10−=)40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为51+−−5与51−5。在当时，包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的iθEuler公式ei=+cosθsinθ揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。然而一直到C.Wess

2、el(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数aib+为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。第一章复数与复变函数自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究

3、对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.§1.1复数及其表示法一对有序实数（x,y）构成一个复数，记为z=x+iy.x,y分别称为Z的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.i=−1z=xiy−称为Z的共轭复数。两个复数相等⇔他们的实部和虚部都相等特别地，z=x+iy=0⇔x=y=0与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.复数的表示法1.代数形式:z=x+iy1)点表示复数z=x+iy↔平面XOY上的点zxy(

4、,)虚轴yyz(x,y)复平面rθx0x实轴r2)向量表示复数z=x+iy↔矢径zyrzz=x+iyy

5、x≤

6、

7、z

8、

9、,y≤

10、

11、z

12、r

13、z≤

14、

15、x

16、+

17、y

18、,

19、=

20、z22θzz=

21、z

22、=

23、z

24、0xxr22z===+zrxy----复数z的模rzx与轴正向的夹角θ----复数z的辐角(argument)记作Argz=θ.任何一个复数z≠0有无穷多个幅角,将满足−π<θ0≤π的θ0称为Argz的主值,记作θ0=argz.则Argz=θ+2kπ=argz+2kπ(k为任意整数)0当z=0时,

25、z

26、=0,而幅角不确定.argz可由下列关系确定:⎧yarctan,z在第一、四象限⎪x⎪⎪yπ

27、yπargz=⎨π+arctan,z在第二象限其中−<

28、;2)zi=sin+cos.55[解]1)rz==+=

29、

30、1244.z在第三象限,因此⎛⎞−235θ=−arctan⎜⎟ππ=arctan−=−π.因此⎝⎠−12365⎡⎤55−πiz4cos()iesin()46=−⎢⎥ππ+−=⎣⎦662)显然,r=

31、z

32、=1,又ππ⎛⎞π3sin=−cos⎜⎟=cosπ,52⎝⎠510ππ⎛⎞π3cos=−sin⎜⎟=sinπ.52⎝⎠510333iπzie10因此=+=cosππsin1010−+13i练习：写出z=的辐角和它的指数形式。232π2π解：argz=+arctanππ=arctan()−3+=−+π=,−12332πArgzz

33、=+=+∈arg22kππk,kZ,3i23πrz==1,ze=.§1.2复数复数的运算1.四则运算设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2z±z=x±x+i(y±y)121212zz=(xx−yy)+i(xy+xy)1212121221zxx+yyxy−xy112122112=+i(z≠0)22222zx+yx+y22222复数运算满足交换律,结合律和分配律:z+z=z+z;zz=zz;z+(z+z)=(z+z)+z)12211221123123z(zz)=(zz)