粘弹性文克尔地基矩形板的稳态动力响应分析

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1、水利学报2005年9月SHUILIXUEBAO第36卷第9期文章编号:0559-9350(2005)09-1077-06粘弹性文克尔地基矩形板的稳态动力响应分析12颜可珍，夏唐代(1.湖南大学土木工程学院，湖南长沙410082；2.浙江大学建筑工程学院，浙江杭州310027)摘要:本文研究了粘弹性地基上矩形板在受到运动常值荷载和运动谐和荷载作用下的动态响应问题，得到了薄板的动力响应的解析表达式，计算和分析了板的固有频率和临界速度。通过算例深入分析了荷载运动速度和频率及地基参数等对板的动态挠度影响的规律。结果表明，荷载运动速度、频率和

2、地基刚度对板挠度的影响较大。关键词:运动荷载；矩形板；谐和荷载；文克尔地基中图分类号:O326文献标识码:A运动荷载作用下弹性地基板的动力反应研究是非常重要的课题。因为道路和机场跑道等结构物的力学[1][2]模型通常为弹性地基梁、板模型，弹性地基上梁的动力反应已被广泛重视。如Fryba、Steele、孙璐[3][4][5][6][7]和Thambiratnam等对该问题都进行了深入的研究；Vallabhanl、Saha和Matsunaga等研究了弹性[8,9]地基板的静态问题或自由振动问题，但对弹性板的动力响应分析相对不足；张英世

3、分析了文克尔地基上[10,11]矩形薄板的自由振动和强迫振动问题；孙璐求得了常幅运动荷载下弹性和粘弹性地基无限大板的动力[12][13]响应的积分解；郑小平和王尚文得到了常幅运动负荷下四边自由矩形板的近似解；侯芸等用有限元法[14]分析了移动常幅荷载下文克尔地基板的动力响应问题；Huang和Thambiratnam用有限条法分析了同样的问题。实际道路上行驶的车辆，由于道路不平及车辆自身产生振动，路面受到的车辆荷载随时间和空间变化。以往的研究均基于常幅荷载，不能真实反应荷载的动力特性，因而研究谐和运动荷载下的路面的动力响应显得非常必要

4、。本文基于弹性地基的薄板理论，推导运动谐和荷载下粘弹性地基矩形板的动力响应的解析解，分析板的临界速度和固有频率，通过数值计算，求得板的动力响应曲线，并和文献[12]进行对比，最后探讨荷载运动速度、频率和地基刚度及阻尼系数等参数对动力响应的影响。[11]1基本控制方程222∂w∂wD∇∇w(x,y,t)+ρh+c+kw=q(x,y,t)(1)2∂t∂t222∂∂32式中：∇=+为Laplace算子；k、c分别表示地基的弹性系数和阻尼系数；D=Eh/12(1-μ)为板22∂x∂y收稿日期:2004-09-28作者简介：颜可珍(1975-

5、)，湖南桃江人，博士，讲师，主要从事岩土与道路工程方面的研究。E-mail：yankz2004@163.com1水利学报2005年9月SHUILIXUEBAO第36卷第9期的抗弯刚度；ρ、h、E和μ分别为板的材料密度、板厚、弹性模量和泊松比；w(x,y,t)为板的挠度；q(x,y,t)为荷载，交通荷载可以通过Fourier变换，表示为一系列的简谐振动荷载之和，本文主要分析单一频率振动的荷载。假定荷载的振动频率为ω，以速度v沿直线y=d向x正方向运动，则荷载函数可表示为iωtq(x,y,t)=Peδ(x-vt)δ(y-d)(2)对于四

6、边简支的矩形板，其边界条件可表示为22w(x,y,t)=∂w(x,y,t)/∂x=0x=0和x=a(3)22w(x,y,t)=∂w(x,y,t)/∂y=0y=0和y=b式中：P为荷载的幅值；a为板长，b为板的宽度。初始条件可表示为∂ww(x,y,t)=0,=0,t=0(４)∂t另外，本文为了研究简便，假定板足够长，并只讨论荷载在板内运动的情况。2方程求解根据边界条件式(3)，选取板的动挠度的振型函数为∞∞w(x,y,t)=∑∑Tmn(t)sinαmsinβny(5)mn=11=mπnπ式中：α=;β=。mnab式(5)能满足边

7、界条件式(3)。将荷载q(x,y,t)表示为∞∞q(x,y,t)=∑∑Fmn(t)sinαmxsinβny(6)mn=11=iωt4ab4Pe式中：F(t)=q(x,y,t)sinαxsinβydxdy=sinαvtsinβd。mn∫∫mnmnab00ab将式(5)、式(6)代入式(1)，并根据振型函数的正交性，可得2水利学报2005年9月SHUILIXUEBAO第36卷第9期24PiωtT′′(t)+2AT′(t)+BT=esinαvtsinβd(7)mnmnmnmnabρh2D422式中：A=c/2ρh;B=(α+2αβ+k/D

8、)。mmnρh方程(7)的解由齐通解和非齐特解两部分组成，该方程其通解可写为T(t)=Cer1t+Cer2t(8)mn1mn2mn22式中：r=−A±A−B;C1mn、C2mn为系数，可由板的边界条件求得。1,2令方程(7)的特解为*