资源描述：
《具有高阶剪切效应的粘弹性板动力分析的DQ方法.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、具有高阶剪切效应的粘弹性板动力分析的DQ方法李晶晶程昌钧陈方平(上海大学力学系，上海 200072)摘要本文对基于Reddy的高阶剪切理论及线性粘弹性材料的Boltzmann本构定律，建立的高阶剪切粘弹性板动态分析的数学模型，应用DQ技术对模型进行简化,得到了粘弹性简支板的动态响应。为说明该方法的可靠性和有效性，研究了DQ数值解的收敛性和精确性。并考察了几何、材料等参数及横向剪切效应对粘弹性板力学行为的影响。关键词粘弹性板，高阶横向剪切，微分求积方法，DQWB途径0引言粘弹性板是工程中常见的一类结构。粘弹性材料本构关系的复杂性导致粘弹性结构的数学模
2、型难以精确求解。因而数值模拟和近似解析方法广为采用[1-3]。1971年，由Bellman等首先提出的微分求积法(简称DQ法)是一种相比于有限元法可采用较少节点而获得较高精度结果的另一种数值方法[4]。近年来，DQ方法已被推广应用于对结构进行挠度、振动、屈曲的线性及非线性进行分析[5-8]。但笔者还未见有关微分求积法研究粘弹性结构的文献。本文对基于Reddy的高阶剪切理论及线性粘弹性材料的Boltzmann本构定律，建立的以广义位移分量为未知量的高阶剪切粘弹性板动态分析的数学模型，在空域上应用推广的DQ技术对模型进行简化,化积分-偏微分方程为积分-
3、常微分方程,时域上进一步将其化为常微分方程。最后对简化的动力系统进行研究,得到了粘弹性板的动态响应。同时，研究了DQ解的收敛性和精确性。并考察了参数及横向剪切效应对粘弹性板力学行为的影响。1问题的数学模型考察沿和轴方向的边长分别为、,厚度为的简支粘弹性矩形板。设是板在轴方向的位移，和分别是板中面绕和轴的转角。基于Reddy高阶剪切理论[9]及粘弹性材料Boltzmann本构定律[1]，若忽略面内惯性项的影响，板的上表面承受横向载荷的作用，可到以广义位移分量为未知量的粘弹性板动力控制方程（1）这里，我们已引入了无量纲参数和因子,,,,，式中，为无量纲
4、载荷，系数等是与材料性质有关的无量纲系数，限于篇幅，不再列出。符号为Boltzmann算子，定义为这里只查考简支边界，利用Titchmarsh定理，则有无量纲边界条件(2)设粘弹性物体初始时处于自然状态，且当时满足如下初始条件：,,,，,（3）这里，都是已知的仅与坐标有关的函数。2空域上的DQ逼近及时域上的简化精确求解(1)是很困难的，这里采用DQ法进行空域的离散。现在，考虑函数（相应于和），它在二维区域上沿-和-方向分别具有个离散点，应用[7]中推广的DQ公式，控制方程（1）可化为在二维区域内部各节点的离散的DQ形式(4)式中的,和分别是未知的阶
5、矩阵。带有下标和的矩阵及,分别表示,和沿-和-方向各阶偏导数的DQ权系数及修正的权系数矩阵。上标T表示矩阵的转置。值得一提是：由于这里我们推广了DQWB途径，故在计算区域内部节点处各阶偏导数的权系数时边界条件式(4)已考虑了，因此求解方程（4）时不必再考虑边界条件。通过使用Kronecker矩阵积[10]，方程（4）可进一步表达为(5)式中，，其中，为材料的性质函数，和的表达形式见附录A。为广义位移列阵，,和是分别将阶矩阵,和的各列依次纵排得到的维列向量。为材料参数矩阵。为载荷列阵.这里，控制方程（4）为时间域上的积分-常微分方程，应用微分技术可将
6、其在时间域上化为常微分方程[3].设粘弹性材料为标准线性固体材料，其松弛函数满足下面的条件：(6)将（6)代入(5),并关于时间求导，得（7）由式（3）(5)和（6）可得初始条件为（8）式(7),(8)即为每一个所满足的三阶常微分方程的初值问题。3．数值算例与讨论采用精度较高的Runge-Kutta方法对(8)进行数值积分，为说明该方法的可靠性和有效性，首先研究数值解的收敛性和精确性。为便于比较，先对忽略横向剪切效应的薄板自由振动进行了分析。图1示出了简支粘弹性矩形板的衰减振动；同时，表1示出了粘弹性方薄板()的中心挠度的数值解(采用不同节点分布时
7、的DQ数值解)和解析解(采用Galerkin法和Laplace变换法得到的解析解[3])的比较。从表1可以观察到，随着节点的增加，DQ解收敛很快，即使取7´7个不均匀节点的DQ解也与解析解吻合很好。因此，下面的数值算例中均采用7´7个不均匀节点来进行计算。表1粘弹性方板自由振动的中心挠度值tDQDQ解析解104.83002.44222.445320-1.2017-4.0266-4.029930-4.11354.42834.4281402.1242-3.6280-3.6213503.22991.95451.941160-2.74590.09460.1
8、12070-2.2649-1.9348-1.9512803.07853.11773.1275901.3086-3.3748
