高等数学_b_配套标准化作业_上_答案

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1、第一次作业一、填空题u21.{x3{x03x≤}所以Ex=<{}03x<则supEE==3inf02．解：xxx当时nf==2,,21()xf⎡⎤⎣⎦f()x=f3()x="fn()x22212++xx131+nxx证明:,假设当nk==时,fk()x21+kxxxkx22kxx11++当时nk=+1,fkk+1()x=f⎡⎤⎣⎦f()x==

2、=222⎛⎞x11++()kx11++()kx1+⎜⎟⎝⎠1+kx21+kx2即当nk=+1时原命题成立.x由数学归纳法,即得证fxn()=.21+nx3．证明：11令gx()=+f()xf()−x,2211hx()=−f()xf()−x,2211则,gx()−=f()−x+f()x=g()x22即gx()为偶函数;11⎛⎞11h()−=xf()−x−fx()=−⎜⎟fx()−f()−x,22⎝⎠22即hx()为奇函数,而fx()=+g()xh(x),即fx()可以写成一个偶函数与一个奇函数之和.4．证明：由已

3、知f()ax−=f(a+x)⇒f(x)=f(2,ax−)fb()−=xf(b+x)⇒f(x)=f(2,b−x)即,fa()22−=xf(b−x)令x=2a−t,则,f()tf=+(t22b−a)即f(x)=f(x+2b−2a)∵ab<,∴22ba−>0,∴22ba−为f()x最小正周期,即fx()是周期函数.第二次作业一、填空题2111.–2；2.e+1；3.；4.；5.高。22二、选择题1A2D3C4B5D三、1．解：⎛222⎞原式=lim⎜⎜++"+⎟⎟n→∞⎝2×33×4n×()n+1⎠⎛111111⎞=

4、lim2×⎜−+−+"+−⎟n→∞⎝2334nn+1⎠⎛2⎞=lim⎜1−⎟n→∞⎝n+1⎠=12．解：⎧不存在mn>nx⎪原式==lim⎨1mn=mx→0x⎪⎩0mn<.3．解：x令时et−=1,x=ln(1+t),x→0,t→0.xet−11当时x<=0,limlim=lim=1−−1−1xt→→00xln()1+tt→0(1+⋅ex)ln()1+ttsinax当时xa>=0,lim=1+x→0xπsin⎛⎞π22f⎜⎟==⎝⎠2ππ2四、1．证明：11⎡⎤设则nn≤<+1,=n⎢⎥xx⎣⎦11而<≤xnn

5、+1n⎡⎤11当时xx><01,≤⋅n=⎢⎥nx+1⎣⎦n⎡⎤1由两边夹定理，limx=1x→0+⎢⎥x⎣⎦11⎡⎤n⎡⎤1而当xn<≤0l时,x<,则imx=1nx⎢⎥⎣⎦n+1x→0−⎢⎥⎣⎦x⎡⎤1因此limx=1.x→0⎢⎥⎣⎦x2．证明：显然{xn}为单调递增数列又因为xx=+6,x=6<3，nn+11所以xx=+6<+633=,",x<3,即x=+6x<+633=,21nn+1n即{xn}为单增有上界数列由单调有界原理，{xn}收敛，而limxn存在x→∞设limx=a,由x=6+xnn+1nx→∞

6、两边同时取极限，a=6+a2即aa−−6=0,解得a=3或a=-2（舍去），即limx=3.nx→∞第三次作业一、填空题a1.2；2.±1，kπ(k∈z)；3.(−∞,0)∪(0,+∞)；4.<1；5.>1≤1。1−q二、选择题1B2D3A4B三、1．解：2fx()=+x2lximfx()+1,两边取极限,x→1limfx()=+12limfx()+1,limfx()=−2,xx→→11x→12fx()=−x41x+.2．解：u2n+1(1)lim=<1∴级数收敛n→∞uennaa(2)uu==,limnlim

7、=annssnnn→∞→∞nn当01<1时发散;as=>11时,时收敛;0=0,，存在δε当0

8、上至少有一个实根.3．证明：∞∞(1)∵∑∑abnn和均收敛,nn==11∞ab+nn则收∑敛.n=12ab+nnab≤,由正项级数比较判别法知nn2∞∑abnn收敛；n=1∞∞1(2)∑∑an收敛,2收敛，nn==11n∞∞a1n则收∑∑an⋅=2敛.nn==11nn第四次作业f2()x1()1nn−x一、填空题1.y=2x+1；2.2f()xefxdx；3.−；4.()−1(lna