非线性双曲积分微分方程的非协调有限元方法

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1、第34卷/第1期/河北师范大学学报/自然科学版/Vol.34No.12010年1月JOURNALOFHEBEINORMALUNIVERSITY/NaturalScienceEdition/Jan.2010
非线性双曲积分微分方程的非协调有限元方法1212陈佐利,
张步英,
吕金凤,
张云霞(1.河北科技师范学院数理系,河北秦皇岛
066004;2.河北科技师范学院欧美学院,河北秦皇岛
066004)摘要:研究了一类非线性双曲积分微分方程半离散格式下的非协调有限元方法,利用真解的Ritz
volterra投2影,获得了Galerkin解与真解的L(L)模及L(S

2、h)模的最优误差估计.关键词:非线性;双曲积分微分方程;有限元;误差估计中图分类号:O242.21


文献标识码:A


文章编号:1000
5854(2010)01
0017
04考虑下面非线性双曲积分微分方程tutt={a(u)u+!b(x,t,
,u(
))u(
)d
}+f(u),(x,t)∀(#[0,T]),0

(1)ut(x,0)=v0,u(x,0)=u0x∀,u(x,t)=0,x∀#[0,T].2其中∀R为有界区域,其边界逐段光滑,T>0且各系数满足如下条件A:1)!a0,a1>0使得0

3、)及b(x,t,
,u(
))均为已知的有界光滑函数,且关于各个变量满足Lipschitz条件,且具有本文所需的各阶有界导数;23)设(1)的解满足u∀C(#[0,T]).问题(1)在具有记忆的材料中的热传导、核反应动力学、弹性力学、生物力学、松散介质中的压力等实际[1
4]问题的研究中有着广泛地应用.鉴于此,人们对该方程提出了许多数值模拟方法.非协调有限元方法由于其自身的优越性,近年来,被广泛应用于各类方程解的数值逼近中,如文献[5
8].但是,关于问题(1)的非协调有限元方法的研究较少.本文中,笔者针对问题(1),研究了其四边形网2格下的非协调Wilso

4、n元逼近,得到其Galerkin解与真解的L(L)模及L(Sh)模的最优误差估计.11(1)变分形式为求u(t):[0,T]%H0(),使得∀v∀H0()有t

(utt,v)+(a(u)u,v)+!b(x,t,
,u(
))u(
)d
,v)=(f(u),v).(2)0其中(,!)=!!dx,记&&s,r为通常的Sobolev空间的范数.1
半离散有限元逼近[9]设Th为的拟一致四边形剖分,记hK为单元K的半径,h=maxhK.考察非协调Wilson元,并记其K相应的有限元空间为Sh.进一步,为了保证Wilson元的收敛性,对网格剖分作一个附加条

5、件:对于任意单元2K∀Th,对角线中点间的距离dK为h的高阶无穷小.2设

6、v

7、1,h=∋!vvdx,易知

8、

9、1,h为Sh上的范数.KK(1)的非协调有限元格式为求U(t):[0,T]%Sh,使得∀v∀Sh有t(Utt,v)+(a(U)U,v)h+!b(x,t,
,U(
))U(
)d
,v)h=(f(U),v),

0(3)Ut(x,0)=#v0,U(x,0)=u#0.
收稿日期:2009
06
28;修回日期:2009
09
18基金项目:河北科技师范学院青年基金项目(2006NY019)作者简介:陈佐利(1963-),男,河北昌黎人,讲师,研究方向

10、为偏微分方程.18其中(,!)h=∋!K!dx,#v0,u#0分别由(4),(5)确定.K引入真解u的Ritz
volterra投影,求#u(t):[0,T]%Sh,使得∀v∀Sh有t

(a(u)#u+!b(x,t,
,u(
))#u(
)d
,v)h=0t(-(a(u)u+!b(x,t,
,u(
))u(
)d
),v).(4)0对上式关于t求导,有t

(a(u)#ut+b(u)u#,v)h+(at(u)#u+!bt(u(
))#u(
)d
,v)h=0t-(#u(a(u)u#+!b(x,t,
,u(
))#u(
)d
)(t,

11、v).(5)0利用椭圆问题的解的存在唯一性知#u(t)存在唯一,其中#u0,#v0分别为u#(0),#ut(0).[5]由条件A及常微分方程的知识,易知离散问题解存在唯一.记U-u=U-#u+#u-u=∀+#,&v&L(S)=sup&v&1,h,&v&L(L2)=sup&v&.另外,本文中,C表示广义常数,在不同的地方表h0

12、Th(!,v)

13、=

14、∋!!vNrds

15、∃Ch&!&1

16、v

17、2,h,(6)KKr

18、Th(!,v)

19、∃Ch&!&1

20、v

21、1,h,r=1,2.(7)2

22、2其中:n