各向异性及双参数非协调有限元方法研究

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1、郑州大学博士学位论文各向异性及双参数非协调有限元方法研究姓名：王彩霞申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：石东洋20070401内容摘要近年来，各向异性有限元方法己成为有限元领域的热点问题，陆续出现了许多有关此方面的理论及应用研究成果，见【26，27，53，列，其中大部分工作主要是针对二阶或四阶椭圆边值问题协调与非协调元的插值误差估计进行的．目前，各向异性有限元方法的主要挑战性工作有：(1)．由于在各向异性网格剖分下，Bramble-HilbertiJI理【41不能直接引用，因此插值误差的估计无法按照传统的有限元误

2、差估计技巧进行．对于非协调有限元来说，相容误差的估计是十分困难的，因为当网格剖分不再满足正则假设，拟一致假设或反假设时，相容误差中有关边界项的估计，将出现的因子塌，当F是单元Ⅳ的最长边时，该因子可能会趋于无穷大，无法保证收敛性，需要探索新的途径和边界估计技巧．(2)．已有的一些单元是不具备各向异性特征【硎的，如Th．Apel在【53】中已证明，较新的旋转Q1元1361是不能用于各向异性网格的，并且举出了反例；(3)．对于混合元方法来说，插值算子在各向异性网格下的适定性，稳定性以及LBB条件(混合有限元方法的关键)等验证

3、工作都有和大的难度．另外，超收敛研究也是有限元领域备受关注的问题之一，出现了许多高精度有限元的研究，但是，基本上也是在正则网格剖分下讨论的，有关各向异性单元的超收敛性质的研究则相对较少，且难度也较大，主要是因为后验插值算子的构造以及各向异性特征的验证等都十分困难．另一方面．如何构造高效的板单元的研究一直是有限元领域的热点和难点，由于”双参数”有限元具有自由度小并能兼顾收敛性的特点，本文利用双参数有限元的思想构造了两个可用于四阶板问题的单元(一个是具有各向异性特征的12参矩形元，另一个是三角形九参数元1本文主要系统研究两

4、大类问题：一是选取几个典型的各向异性非协调元，如矩形Wilson元，三角形Carey元，一类Crouzeix-l胁viart型元，五节点元等，分别对位移障碍下变分不等式问题，二阶椭圆边值问题，Stokes问题和平面弹性问题做了迸一步深入探讨：二是并利用双参数有限元法构造了8自由度12参矩形板元和三角形九参元，对矩形板元我们进行了超收敛分析，对双参数三角形板元分析了其收敛性并给出了数值实验，结果表明理论分析和实际计算是相吻合的．具体地讲，位移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法主要由两部分组成：(1)以两个著名

5、的非协调有限元矩形Wilson元【20】和三角形Carey元【9】为例，研究位移障碍下变分不等式问题的各向异性非协调有限元方法，通过引入新的技巧，得到了与传统有限元方法相同的最优误差估计，这一部分中使用的方法对一类可分离出协调部分和非协调部分，且通过Irons分片检查的单元均成立：(2)讨论了各向异性罔格下位移障碍下变分不等式问题的一类Crouzeix-Raviart型非协调有限元(特别是三角形元)逼近，通过另外一种完全不同于(1)的新的误差估计技巧，在自由边界长度有限及精确解的正则性假设条件下，得到了与【1，11，5

6、1】相同的最优误差估计．本文的结果再次证实了一个重要结论．即对于位移障碍下变分不等式的非协调有限元方法的收敛性分析，网格剖分的正则性假设不是必要的，从而拓宽了有限元尤其是非协调有限元的应用范围．其次本文又利用三角形Carey元研究了二阶椭圆问题的收敛性及误差估计．在已有的相关文献中，大多数要求问题的解u∈上，2(n)或t‘∈H3(Q)，14l、152]和【50】针对u∈H4(n)时研究了协调线性三角形元的收敛性．以【41为基础，【49】和【521在同样条件下对非协调有限元做了探讨．上述文献均要求网格剖分满足正则假设或拟

7、一致假设．本文利用不同于文献f49，50，52】的新的技巧和方法，在各向异性网格剖分和解的弱正则条件下，得到了和他们同样的结果．并且，本文中的结果对其他的一些非协调有限元，如各向异性Wilson元，各向异性类Wilson元等也成立．再次，本文研究二阶椭圆问题和Stokes问题的低阶元混合有限元方法．对二阶问题，构造了一个新的单元格式，当其精确解具有低正则性时，在不要求网格满足正则假设或拟一致假设的条件下，我们得到了最优误差估计，与f33)相比，我们的证明方法较为简单；对于Stokes问题，研究五节点非协调矩形元对它的逼

8、近，通过引入全新的估计方法，给出了关于速度、压力的超逼近性质．同时．通过巧妙的构造了一个适当的插值后处理算子，技巧性的导出了在各向异性网格下的超收敛结果，丰富了有限元(特别是非协调有限元)方法的内容．本文的结果同样适用于【36，48】在正则网格下所讨论的的旋转Q1元．接下来，本文研究了平面弹性问题，结合f29，78J的思想，直接构