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1、2一、(25分)设{W(t),t≥0}是以σ为参数的维纳过程.(1)求W(t)的有限维概率密度函数族.(2)令X(t)=W(t+a)−W(t),t≥0,试讨论X(t)的平稳性.2σ二、(20分)二阶矩过程{X(t),0≤t<1}的自相关函数为R(t,t)=,0≤t,t<1,X12121−tt12此过程是否均方连续、均方可微,若可微,请求R(t,t)和R(t,t).X'12XX'12三、(20分)设N,N相互独立,并且N服从参数为λ的泊松分布,i=1,2.12ii(1)求PN(=kN
2、+N=n),其中0≤k≤n.112(2)
3、求E[N
4、N+N]和E[N+N
5、N].112121四、(20分)设齐次马氏链{X(n),n≥0}的一步转移阵如下,状态空间为E={1,2,3}⎛1/41/21/4⎞⎜⎟P=⎜1/21/41/4⎟⎜⎟⎝01/43/4⎠111初始分布为p(0)=P{X(0)=1}=,p(0)=,p(0)=.123236(1)画出概率转移图;(2)求P{X(0)=1,X(1)=2,X(3)=3}及P{X(2)=2};(3)此链是否遍历的?试求其平稳分布.五、(15分)设平稳过程X(t)的功率谱密度为⎧
6、ω
7、⎪1−ω≤ω0SX(ω)=⎨ω0⎪0ω
8、>ω⎩0试求X(t)的自相关函数.随机过程习题课参考答案2一、设{W(t),t≥0}是以σ为参数的维纳过程.(1)求W(t)的有限维概率密度函数族.(2)令X(t)=W(t+a)−W(t),t≥0,试讨论X(t)的平稳性.解:(1)由于维纳过程是高斯过程,因此对任给tt,,L,t,可知(WtWt(),(),L,Wt())12n12n服从n维正态分布,因此其任意n维分布均为n维正态分布,均值向量为零,协方差阵可由下面的题二得到,然后根据多维正态分布的密度函数就可写出其有限维密度函数,这里从略。(2)由下面的题二可得。从题二的
9、结果可知,Xt()为宽平稳过程,又因为Xt()为高斯过程(可证明),因此Xt()也是严平稳过程。2二、设{W(t),t≥0}是以σ为参数的维纳过程.请回答下面的问题:(1)求W(t)的均值函数和协方差函数;(2)求X(t)=W(t+a)−W(t)的均值函数和协方差函数,其中a为一固定常数.2答:(1)由题设知W(t)~N(0,σt),因此E[W(t)]=0,当0
10、σt,所以C(s,t)=σmin{s,t}.WW(2)mt()=EWt[(+a)−Wt()]=0,XC(s,t)=Cov[X(s),X(t)]=E[X(s)X(t)]X=E[W(a+s)W(a+t)−W(a+s)W(t)−W(a+t)W(t)+W(s)W(t)]2222=σmin{a+s,a+t}−σmin{a+s,t}−σmin{s,a+t}+σmin{s,t}⎧0,a≤
11、t−s
12、⎪=⎨⎪2⎩[a−
13、t−s
14、]σ,a>
15、t−s
16、三、试求随机相位余弦波X(t)=acos(ωt+Θ)的均值函数、方差函数和自相关函数,其中a,
17、ω为常数,Θ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。解:略四、设N,N相互独立,并且N服从参数为λ的泊松分布,i=1,2.12ii(1)求PN(=kN
18、+N=n),其中0≤k≤n.112(2)求E[N
19、N+N]和E[N+N
20、N].112121五、设齐次马氏链{X(n),n≥0}的一步转移阵如下⎛1/41/21/4⎞⎜⎟P=⎜1/21/41/4⎟⎜⎟⎝01/43/4⎠111状态空间为E={1,2,3},初始分布为p(0)=P{X(0)=1}=,p(0)=,p(0)=.123236(1)画出概率转移图;(2)求P{X(0)=1,
21、X(1)=2,X(3)=3}及P{X(2)=2};(3)此链是否遍历的?试求其平稳分布.解:(1)略(2)PX{(0)1,=X(1)=2,X(3)=3}=PX{(0)1}{(1)=PX=2
22、X(0)1}{(3)=PX=3
23、X(1)=2}11(2)11⎡111113⎤3=××p23=×[pp2113+pp2223+pp2333]=×⎢×+×+×⎥=2244⎣244444⎦32PX{(2)=2}=PX{(0)1}{(2)=PX=2
24、X(0)1}=+PX{(0)=2}{(2)PX=2
25、X(0)=2}+PX{(0)=3}{(2)P
26、X=2
27、X(0)=3}(2)(2)(2)=p(0)p+p(0)p+p(0)p112222332然后利用二步转移概率就可计算出来(3)略