2010随机过程试题

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1、2一、（25分）设{W(t),t≥0}是以σ为参数的维纳过程.(1)求W(t)的有限维概率密度函数族.(2)令X(t)=W(t+a)−W(t),t≥0,试讨论X(t)的平稳性.2σ二、（20分）二阶矩过程{X(t),0≤t<1}的自相关函数为R(t,t)=,0≤t,t<1,X12121−tt12此过程是否均方连续、均方可微，若可微，请求R(t,t)和R(t,t).X'12XX'12三、（20分）设N,N相互独立，并且N服从参数为λ的泊松分布，i=1,2.12ii（1）求PN(=kN

2、+N=n)，其中0≤k≤n.112（2）

3、求E[N

4、N+N]和E[N+N

5、N].112121四、（20分）设齐次马氏链{X(n),n≥0}的一步转移阵如下，状态空间为E={1,2,3}⎛1/41/21/4⎞⎜⎟P=⎜1/21/41/4⎟⎜⎟⎝01/43/4⎠111初始分布为p(0)=P{X(0)=1}=,p(0)=,p(0)=.123236(1)画出概率转移图；(2)求P{X(0)=1,X(1)=2,X(3)=3}及P{X(2)=2}；(3)此链是否遍历的?试求其平稳分布.五、（15分）设平稳过程X(t)的功率谱密度为⎧

6、ω

7、⎪1−ω≤ω0SX(ω)=⎨ω0⎪0ω

8、>ω⎩0试求X(t)的自相关函数.随机过程习题课参考答案2一、设{W(t),t≥0}是以σ为参数的维纳过程.(1)求W(t)的有限维概率密度函数族.(2)令X(t)=W(t+a)−W(t),t≥0,试讨论X(t)的平稳性.解：（1）由于维纳过程是高斯过程，因此对任给tt,,L,t，可知(WtWt(),(),L,Wt())12n12n服从n维正态分布，因此其任意n维分布均为n维正态分布，均值向量为零，协方差阵可由下面的题二得到，然后根据多维正态分布的密度函数就可写出其有限维密度函数，这里从略。（2）由下面的题二可得。从题二的

9、结果可知，Xt()为宽平稳过程，又因为Xt()为高斯过程（可证明），因此Xt()也是严平稳过程。2二、设{W(t),t≥0}是以σ为参数的维纳过程.请回答下面的问题：(1)求W(t)的均值函数和协方差函数；(2)求X(t)=W(t+a)−W(t)的均值函数和协方差函数,其中a为一固定常数.2答：(1)由题设知W(t)~N(0,σt)，因此E[W(t)]=0,当0

10、σt，所以C(s,t)=σmin{s,t}．WW(2)mt()=EWt[(+a)−Wt()]=0，XC(s,t)=Cov[X(s),X(t)]=E[X(s)X(t)]X=E[W(a+s)W(a+t)−W(a+s)W(t)−W(a+t)W(t)+W(s)W(t)]2222=σmin{a+s,a+t}−σmin{a+s,t}−σmin{s,a+t}+σmin{s,t}⎧0,a≤

11、t−s

12、⎪=⎨⎪2⎩[a−

13、t−s

14、]σ,a>

15、t−s

16、三、试求随机相位余弦波X(t)=acos(ωt+Θ)的均值函数、方差函数和自相关函数，其中a,

17、ω为常数，Θ是在(0,2π)上均匀分布的随机变量。解：略四、设N,N相互独立，并且N服从参数为λ的泊松分布，i=1,2.12ii(1)求PN(=kN

18、+N=n)，其中0≤k≤n.112(2)求E[N

19、N+N]和E[N+N

20、N].112121五、设齐次马氏链{X(n),n≥0}的一步转移阵如下⎛1/41/21/4⎞⎜⎟P=⎜1/21/41/4⎟⎜⎟⎝01/43/4⎠111状态空间为E={1,2,3}，初始分布为p(0)=P{X(0)=1}=,p(0)=,p(0)=.123236(1)画出概率转移图；(2)求P{X(0)=1,

21、X(1)=2,X(3)=3}及P{X(2)=2}；(3)此链是否遍历的?试求其平稳分布.解：（1）略（2）PX{(0)1,=X(1)=2,X(3)=3}=PX{(0)1}{(1)=PX=2

22、X(0)1}{(3)=PX=3

23、X(1)=2}11(2)11⎡111113⎤3=××p23=×[pp2113+pp2223+pp2333]=×⎢×+×+×⎥=2244⎣244444⎦32PX{(2)=2}=PX{(0)1}{(2)=PX=2

24、X(0)1}=+PX{(0)=2}{(2)PX=2

25、X(0)=2}+PX{(0)=3}{(2)P

26、X=2

27、X(0)=3}(2)(2)(2)=p(0)p+p(0)p+p(0)p112222332然后利用二步转移概率就可计算出来（3）略