随机过程试题

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1、学号姓名学院教师……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………电子科技大学研究生试卷（考试时间：至，共小时）课程名称应用随机过程学时60学分3教学方式讲授考核日期2009年元月5日成绩考核方式：（学生填写）一、（12分）已知随机过程为随机变量，服从上的均匀分布。试求：（1）任意两个样本函数，并绘出草图；（2）随机过程的特征函数；（3）随机过程的均值函数，自协方差函数。解（1）（2）==（3）；二、（12分）设随机过程只有两条样本函数，且，，分别求：（1）一维分布函数和；（2）二维分布函

2、数。解1)对任意实数t∈R,有特别有，故2）三、（12分）设随机过程，其中为常数，随机变量服从瑞利分布：，且与相互独立，试求随机过程的均值函数与自协方差函数。解四、（12分）设在[0,t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是（人/分）的泊松过程，试求：（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率；（3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。解记泊松过程为（1）（2）设W10为第10位顾客出现的到达时间（3）设T是两位顾客到达间隔时间，因参数为λ的泊松过程{N(t),t≥0}的间隔时间序列相互独立同服从参数为λ的指数分布，故

3、两位顾客到达的平均间隔时间E{T}=1/λ.五、（12分）设是一宽平稳随机过程，其自相关函数为若，试求与的自相关函数。解记因，即RX(τ)在τ=0处二次可微，其均方导数过程为平稳过程,有六、（12分）设X(1),X(2),…是一个独立同分布的随机变量序列，其分布律为令试求下列概率：（1）（2）解因X(1),X(2),…是独立同分布的随机变量序列,所以和过程是平稳独立增量过程，从而是齐次马氏链。又因且相互独立，故对n=1，2，3，…===状态转移如图所示:+12314200所以==状态之间的转移如图所示:+1-1123142-2-1-3-4-2所以七、（16分）已知齐次

4、马氏链的状态空间为，状态转移矩阵为（1）画出概率转移图；（2）求二步转移矩阵及转移概率；（3）此链是否为遍历的，试求其平稳分布。解（1）1/41/41/21/31/33/41/41/3123（2）因齐次马氏链，有，故==0.4568（3）因对任意i，j∈E，有，P是正则阵，根据遍历性定理此马氏链是遍历的，且正则(遍历)马氏链的极限分布是平稳分布，需求P的不动点概率向量，即满足和解得平稳分布为八、（12分）设是参数为的维纳过程，为一正常数，令试证明是严平稳的正态过程。证明维纳过程是平稳独立增量，且有X(t)=W(t+a)－W(t)～N(0,aσ2)，故RX(t,t+τ)

5、与t无关,X(t)是宽平稳过程得证。又因是正态过程,下面证明也是正态过程.对是任意的正整数.把和重新按从小到从的顺序列如下:考虑随机向量因为维纳过程是平稳独立增量的正态过程,则上述随机向量是由个相互独立的正态随机变量(可以是退化的)所构成的随机向量.从而它是维的正态随机向量(可以是退化的).对任意的,一定存在和,使得从而有所以表示成了一个维的正态随机向量的线性变换从而是维的正态随机向量(可以是退化的).所以也是正态过程(可以是退化的).因为当是正态过程时,严平稳与宽平稳是等价的.所以是严平稳过程.