第3-4节(极值、最值问题)

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1、江西理工大学理学院第4节极值、最值问题江西理工大学理学院一、函数极值的定义yy=f(x)ax1oxx2x3x4x5x6byyox0xox0x江西理工大学理学院定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的0任何点x,除了点x外,f(x)f(x)均成立,就称00f(x)是函数f(x)的一个极小值.0函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值

2、的点称为极值点.江西理工大学理学院二、函数极值的求法定理1(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且0'在x处取得极值,那末必定f(x)=0.00定义使导数为零的点(即方程f′(x)=0的实根)叫做函数f(x)的驻点.注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却不一定是极值点.3例如,y=x,y′x=0=0,但x=0不是极值点.江西理工大学理学院证：不妨设f(x0)是f(x)的极大值，由极大值的定义，在x的某个去心邻域内，对任何点x,f(x)0(x

3、(x)0<0(x>x)0x−x0由f(x)在x的可导性，有0f(x)−f(x)0f′(x)=f′(x)=lim≥00−0x→x0−0x−x0f(x)−f(x)0f′(x)=f′(x)=lim≤00+0x→x0+0x−x0∴f′(x)=00江西理工大学理学院定理2(第一充分条件)'(1)如果x∈(x−δ,x),有f(x)>0;而x∈(x,x+δ)，0000'有f(x)<0，则f(x)在x处取得极大值.0'(2)如果x∈(x−δ,x),有f(x)<0;而x∈(x,x+δ)，0000'有f(x)>0，则f(x)在x处取得极小值.0'(3)如果当x∈

4、(x−δ,x)及x∈(x,x+δ)时，f(x)0000符号相同,则f(x)在x处无极值.0yy+−−+ox0xox0x(是极值点情形)江西理工大学理学院yy+−+−oxxox0x0(不是极值点情形)求极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求驻点，即方程f′(x)=0的根;(3)检查f′(x)在驻点左右的正负号,判断极值点;(4)求极值.江西理工大学理学院32例1求出函数f(x)=x−3x−9x+5的极值.2解f′(x)=3x−6x−9=3(x+1)(x−3)令f′(x)=0，得驻点x=−1,x=3.列表讨论12x(−∞,−1)−1(−1,

5、3)3(3,+∞)f′(x)+0−0+极大值极小值f(x)极大值f(−1)=10,极小值f(3)=−22.江西理工大学理学院32f(x)=x−3x−9x+5图形如下Mm江西理工大学理学院定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数,0'''且f(x)=0,f(x)≠0,那末00''(1)当f(x)<0时,函数f(x)在x处取得极大值;00''(2)当f(x)>0时,函数f(x)在x处取得极小值.00f′(x+∆x)−f′(x)00证(1)Qf′′(x)=lim<0,0∆x→0∆x故f′(x+∆x)−f′(x)与∆x异号，00当∆x<0时

6、，有f′(x+∆x)>f′(x)=0,00当∆x>0时，有f′(x+∆x)0,故极小值f(2)=−48.32f(x)=x+3x−24x−20图形如下江西理工大学理学院Mm注意:f′′(x)=0时

7、,f(x)在点x处不一定取极值,00仍用定理2.江西理工大学理学院注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.2例3求出函数f(x)=1−(x−2)3的极值.12−f′(x)=−(x−2)3(x≠2)解3当x=2时,f′(x)不存在.但函数f(x)在该点连续.M当x<2时，f′(x)>0;当x>2时，f′(x)<0.∴f(2)=1为f(x)的极大值.江西理工大学理学院三、最值的求法若函数f(x)在[a,b]上连续，除个别点外处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在.yyyoabxoabxoabx江西

8、理工大学理学院步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,大的那个就是最大值,小的那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则