(17)函数最值(极值)的综合问题

《(17)函数最值(极值)的综合问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、函数最值（极值）问题一、【考点分析】1.掌握求最值（极值）的一般步骤：原函数（或构造的新函数）求导分析单调性最值（极值）；2.最好结合函数的单调性和最值（极值）点，画出函数图像大概轮廓，数形结合，借助图像分析问题；3.理解最值（极值）与恒成立问题、证明不等式和函数零点之间的关系，也体会恒成立问题、证明不等式和函数零点等问题之间的内在联系。二、【典例解析】1.最值（极值）与恒成立、证明不等式的综合问题例1.设函数．证明：当时，；例2.已知函数.若，求的取值范围；例3.设函数，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时，

2、f(x)>0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解（I）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数。综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即解得1

3、1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,方程f(x)=0有且仅有两解，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5思考归纳：例2例3与例4例5有和联系？例6已知函数（1）求f(x)在[0，1]上的极值；（2）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.，令（舍去）单调递增；当单调递减.上的极大值（2）由令，当上递增；当上递减而，恰有两个

4、不同实根等价于课后练习1.已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或

5、x=.以下分两种情况讨论：（1）若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于解不等式组得-52，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即解不等式组得或.因此2

6、)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).3.设为实数，函数。(Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。4.知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。w.w.w

7、.k.s.5.u.c.o.m解析：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）因为在处取得极大值，所以所以由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。