第2章 数学模型1

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1、张家港校区张家港校区二、数学模型基本定义：数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。二、数学模型表达形式：时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程。复数域：传递函数、结构图。频率域：频率特性。2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院12011年11月18日星期五机电与汽车工程学院2张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型建立数学模型的方法2.1控制系统的运动微分方程¾解析法2.1.1建立数学模型的一般步骤依据系统及

2、元件各变量之间所遵循的物理或化学规律¾分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统列写出相应的数学关系式，建立模型。和各元件的输入、输出量；¾从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量¾实验法遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，分方程；并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。¾消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程；¾标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院3201

3、1年11月18日星期五机电与汽车工程学院4张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型2.1.2控制系统微分方程的列写2(1)输入量、输出量；ddß机械平移系统(2)依据物理定律，写出微分方程；mx(t)+Cx(t)+Kx(t)=f(t)2oooifi(t)fi(t)(3)消去中间变量。dtdtmmfm(t)静止（平衡）工作点作为式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以00零点，以消除重力的影响由二阶常系数微分方程描述。xo(t)xo(t)⎧d2注：微分方程的系数取决于系统的结构参数。f(t)−f(t

4、)−f(t)=mx(t)KCfK(t)fC(t)⎪iCKdt2o⎪⎪◆微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等⎨fK(t)=Kxo(t)于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。⎪d⎪f(t)=Cx(t)⎪Co⎩dt机械平移系统及其力学模型2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院52011年11月18日星期五机电与汽车工程学院61张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型ß弹簧－阻尼系统ß机械旋转系统00fi(t)f(t)=f(t)+f(t)θi(t)θo(t)iCK主动轮J0dCx(t)+K

5、x(t)=f(t)TK(t)TC(t)x(t)ooiKodtKC系统运动方程为一阶常系数微分方程。粘性液体柔性轴C齿轮弹簧-阻尼系统J—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；C—粘性阻尼系数2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院72011年11月18日星期五机电与汽车工程学院8张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型ß机械旋转系统00ß电气系统θi(t)θo(t)旋转体弹簧扭矩：J电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。TtKtKi()=−[θθ()o()t]TK(t)TC(t)K旋转体阻尼扭矩：dV

6、电阻V电容V电感TtB()=θ()tBodt齿轮Ci(t)i(t)C{旋转体扭矩平衡方程：Ri(t)L2dJθ()tTtTt=−()()2oKB旋转体承受与旋转速dtu(t)u(t)u(t)度成正比的阻尼力矩2dd1di(t)J2θθoo()tB++()tKtKtθo()=θi()u(t)=Ri(t)u(t)=∫i(t)dtu(t)=LdtdtCdt2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院92011年11月18日星期五机电与汽车工程学院10张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型ßR-L-C无源电路

7、网络2LRdd基尔霍夫定律：LCu(t)+RCu(t)+u(t)=u(t)2oooi节点电流定律+回路电压定律dtdtui(t)i(t)Cuo(t)一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。回路电压定律：若L=0，则系统简化为：根据基尔霍夫定律：对于电路中的任意一个回路R-L-C无源电路网络(此回路断开与否均可)，有：电动势的代数和等于电压降的代数和。d⎧d1其数学表达式为：∑ui(t)=Ri(t)+LE＝∑i(tIR)+＝∑∫Ui(t)dtRCuo(t)+uo(t)=ui(t)⎪⎪dtCdt⎨⎪1⎪

8、uo(t)=∫i(t)dt注：关于有源电网络、液位控制系统，课后自行复习。⎩C2011年11月18日星期五机电与汽车工程学院112011年11月18日星期五机电与汽车工程学院122张家港校区张家港校区二、数学模型二、数学模型¾总结2.2拉氏变换和反变换V物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛ß为何要用拉氏变换与反变换？开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。