数学模型第四版姜启源第1章建立数学模型

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1、第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.1.1从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速为20km/h.甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需3

2、0h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速为20km/h）.数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释

3、、检验等）数学模型数学建模1.2数学建模的重要意义电子计算机的出现及飞速发展；数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视.在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具；数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”.数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”.“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”.数学建模的重要意义数学建模的具体应用分析与设计预报与决策控制与优化规划与管

4、理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性.xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置.四只脚着地距离是的函数.四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地

5、面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法3）由f,g的连续性知h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0(0<0</2),使h(0)=0,即f(0)=g(0).1）将椅子旋转90o，对角线AC和BD

6、互换.由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.2）令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.4）因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键：假设条件中哪些是本质的,哪些是非本质的?考察四脚连线呈长方形的椅子(习题4).用表示椅子的位置椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？用f(),g()表示椅脚与地面的距离证明过程的粗糙之处：1.3.2商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.乘船渡河的

7、方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员.要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,…sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~过程的决策D~允许决策集合uk,v