姜启源编《数学模型》第四版第5章

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1、第五章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3正规战与游击战5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用5.6人口的预测和控制5.7烟雾的扩散与消失5.8万有引力定律的发现动态模型描述对象特征随时间(空间)的演变过程.分析对象特征的变化规律.预报对象特征的未来性态.研究控制对象特征的手段.根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分方程建模根据建模目的和问题分析作出简化假设.按照内在规律或用类比法建立微分方程.5.1传染病模型描述传染病的传播过程.分析受感染人数的变化规律.预报传染病高潮到来的

2、时刻.预防传染病蔓延的手段.不是从医学角度分析各种传染病的特殊机理,而是按照传播过程的一般规律建立数学模型.背景与问题传染病的极大危害(艾滋病、SARS、)基本方法已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为.2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病.建模~日接触率SI模型模型2

3、1/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染.增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数.mls/=模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触使健康者感染的人数不超过原有的病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dtO1>1

4、Oti>11-1/iOt1di/dt<0>1,i0<1-1/i(t)按S形曲线增长接触数(感染期内每个病人的有效接触人数)i(t)单调下降模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者.SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为.2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模需建立的两个方程.模型4SIR模型无法求出的解析解先做数值计算,再在相平面上研究解析解性质(通常r(0)=r0很小)模型4SIR模型的数值解i(t)从初值增长到最大;t,i0.

5、s(t)单调减;t,s0.04.设=1,=0.3,i0=0.02,s0=0.98,用MATLAB计算作图i(t),s(t)及i(s)si相轨线i(s)模型4消去dtSIR模型的相轨线分析相轨线的定义域相轨线11siOD在D内作相轨线的图形，进行分析si1O1D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触

6、率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0提高阈值1/降低(=/),群体免疫忽略i0模型4预防传染病蔓延的手段降低日接触率提高日治愈率提高移出比例r0以最终未感染比例s和病人比例最大值im为度量指标.1/s0i0si10.30.30.980.020.03980.34490.60.30.50.980.020.19650.16350.50.51.00.980.020.81220.02000.40.51.250.980.0

7、20.91720.020010.30.30.700.020.08400.16850.60.30.50.700.020.30560.05180.50.51.00.700.020.65280.02000.40.51.250.700.020.67550.0200,s0(r0)s,ims,im模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<

8、(SIR)区分病人和健康人考虑治愈模型3,4:描述传播过程,分析变化规律,预报高潮时刻,预防蔓延手段.模型4:数值计算与理论分析相结合.5.2经济增长模型增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术建立产值与资金、劳动力之间的关系.研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大.调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长.1）道格拉斯(Douglas)生产函数产值Q(t)F为待定函数资金K(t)劳动力