姜启源第四版《数学模型》第7章

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1、第七章稳定性模型7.1捕鱼业的持续收获7.2军备竞赛7.3种群的相互竞争7.4种群的相互依存7.5食饵-捕食者模型7.6差分形式的阻滞增长模型稳定性模型对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定.不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性.差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似.7.1捕鱼业的持续收获再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）.再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益.问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳?如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳

2、定.背景产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律.单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比.建模捕捞情况下渔场鱼量满足不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件.r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性自治(右端不含t)方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点.不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率产量模

3、型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大.图解法P的横坐标x0~平衡点y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半效益模型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E)最大开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER临界强度下的渔场鱼量ERE*令=0xs由成本—价格比决定捕捞过度

4、~临界强度捕捞过度T(E)0rES(E)Es2Es1S(E)pNEE*pNE/2收入支出利润临界强度Es=0经济学捕捞过度生态学捕捞过度捕鱼业的持续收获在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模.用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.7.2军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程.解释(预测)双方军备竞赛的结局.假设1）由于相互不信任，一方军备越大，另一方军备增加越快；2）由于经济实力限制，一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存在增加军备的潜力.进一步假设1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.目的建模军备竞赛的结

5、局微分方程的平衡点及其稳定性x(t)~甲方军备数量，y(t)~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.t时的x(t)，y(t)线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点记系数矩阵特征方程特征根线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性特征根平衡点P0(0,0)微分方程一般解形式平衡点P0(0,0)稳定平衡点P0(0,0)不稳定1,2为负数或有负实部p>0且q>0p<0或q<0平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条

6、件模型军备竞赛模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张.平衡点2)若g=h=0,则x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平.模型,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但因，也会重整军备.4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久.模型的定性解释,~本方经

7、济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力.模型7.3种群的相互竞争一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食.当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量.建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件.经过自然界的长期演变，今天看到的只是结局.模型假设有甲乙两个种群，它们独自生