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《笔记-数学模型(第四版)-姜启源等编》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、logistic模型的解可以写成X（r）=―,其中5是人口增长出现拐点的时1+严0丿刻，求5与r、Xm的关系。X解：显然当兀=玉时，“⑴最大，2所以亚=乜,7X21+（汕一1）产兀01x从中解得r0=-In（^-l）厂不）X从而logistic模型的解可以写成x（r）=_：；）1+严小设/I为日接触率，“为日治愈率，％为初始感染者人数，试建立传染病SIS模型,并求解。解；由题意可得模型为1•—=刀（1一i）_山,/（0）=iQat当g时，解上述微分方程didtdi=dt久_“口仇一〃)-亿[ini-ln(A-/z-加)]力=/+G2—“In=(>l-//)z
2、+C2A-/J-Ai——-——=A-jd-Ai•*，(0)=，「・C=—-~—X—//—Zz()i_%0-“"A—//—Az入_p—Aiqz(/l—/J—Az())=i()(2—//—Qi)。"z(A-//-加()+Ai()ea~p)t)=i()(Q-吹心%仇-“)严“”2_“_加0+仏严""12)€一(4")'/-+(•A—//Zq2_//特别的当2=“时，上述方程化为纟=-Ai2,z(0)=z0atdil=2/+c,c=-I<01加+丄io题一：设时刻/的人口死亡率为“（厂,f）,试证明时刻I年龄为。的人的期望寿命公式:Sq(t)=0)解：设t时刻年龄为
3、G的人的数目随时间变化的规律为：m=m（r）,r>a）dm由死亡率的定义可得：业=—“（r）,如=—〃（厂,f）d厂mm1fr7、」加（厂）解得in（，”）1沪-J/（孕W,両"”t时刻年龄为G）的人的存活吋间之和为:f+<»h(co)=IJem(T)dr^m(af)co所以时刻t年龄为G的人的期望寿命为:SN)=也二「心仏+⑵m{co)九m{cd)f+°°-ff/z(rj)Jr=edT+co题二：设时刻/的人口死亡率为"（几f）,试证明期望寿命公式:解：设t时刻年龄为G的人的数H随时间变化的规律为：m=m（r）,r>0dm由死亡率的定义可得：=—//(r,
4、/),——=—]Ll(r,t)drmm解得•n(m)
5、0i时刻年龄为o的人的存活时间Z和为:f+oo力(0)=[m（T）dr所以时刻t年龄为0的人的期望寿命为:r+oo-f=e)QdrJo题三：设时刻/的人口死亡率为“(r.r),试证明时刻t年龄为G的人的期望寿命公式:•00-J"g)d厂esdr+Ct)co并证明S^t)是G的单调递增函数解：设(时刻年龄为G的人的数目随时间变化的规律为：m=m(rr>a)dm由死亡率的定义可得:—=一“(厂,/),包=一〃(厂,/)〃mm、山l/、丿m(r)一解得In(叽T/gW，丽"“t吋刻年龄为0)的人的存活吋I'可
6、之和为:f+<»h(co)=IJem(T)dr^m(af)co所以时刻t年龄为G的人的期望寿命为:dT^rCOm{cb)=L沁="加曲+广屛:心"7(如)血+1da)•+8e帀co严8_「“(rw=-1+e局〃(0/)dT+lJcof+8-「“gwzx,八=e3a)/u(co.t)dT>0Je所以S“⑴是G的单调递增函数1.设时刻/的人口为%（/）,单位时间内人口的增量与©—40成正比,试建立模型并求解（心为最大人口容量）解：由题设条件得Ar当4TO得微分方程:訂(D40)=兀o解微分方程=kdtdx一ln(x/H-x)=kt+c{x,n-x=ce-kc=
7、xm-x{}兀二兀”一(兀”一兀oH"2•试推导logistic人口增长模型•即设时刻/的人口为无⑴，单位时间内人口的增量与XI-—）成正比，试建立模型并求解（心为最大人口容量）解：（法一）由题设条件得x(t+Ar)-x(r)Az"(1一—)ntdxx当A/tO得微分方程:解微分方程—=rx()山xin40)=兀odx兀（兀加-兀）J丄（丄+J兀〃X兀2+JX-^—dtXm1—比XX,nInx一In(%/wrdtrt+C]In」心-二」—訂兀”一X(Xm心,“兀加-兀0兀0）=兀0（无加-W心+无0訂）=3〃工rt无rr兀”一X。+兀。£X=X1+(亠一1
8、W（法二）曲+&）-"）*兀（1_丄）竺=壮（1一上）当&T0得微分方程：dt~xj解微分方程X0）=兀（）dxdt（法三）当Ar班九一兀)J丄丄+-J(丄+」J兀心“一Inx-In(xmIn兀〃'_x=X)dx=-X)dx=rdt-x)=rt+s一rt+c2,cXxx丄一1=(亠—1W,Xx0.r-九1+(仏-l)e-rt兀0兀0Xx(t+△/)—x(z)Z1xrx(l2心0得微分方程:dxx~r=rx()山xm40)=x0」1兀0Y1+(亠一l)e~rtX。解微分方程心皿_上）”-丄兀2u=—,thenxu=e-jp（t）dt=-jrdt=-Ft,・
9、•・丄’""""（（。（显P（l）di,厂、dt+C
