1数学模型引言

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1、数学模型引言预备知识：高等数学，线性代数，概率论与数理统计，（运筹学，最优化，微分方程）计划学时：32/48适应对象：大二下半年（最好大三下半年）参考资料：高等教育出版社《数学模型》姜启源编浙江大学出版社《数学模型》杨启帆边馥萍编湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导教材》叶其孝编工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学建模竞赛》叶其孝编1．我们所处时代及特点：我们已经进入了计算机革命时代（ComputerRevolutionEra）或称信息时代（InformationTimes），其特点是：①计

2、算机的迅速发展——高速、智能、小型、价廉（上个世纪八十年代106次/秒，上个世纪九十年代109次/秒，曙光4000A在2004年排名TOP500第102006年280万亿次/秒是IBM公司制造；软件包的大量涌现，特别是数学，既有传统的数值计算，更有强大的图形和符号演算功能，如Matlab，Mathematics，Maple，MathCAD,SAS,SPSS,Lingo/Lindo；世界上第一台计算机占地150平米或说10—15间房子大，现在性能强大的笔记本电脑随处可见；上个世纪八十年代一台286

3、电脑需要4万元或说40年工资，现在一台P4/631/512M/160G/17”约4千元或说1个月工资）；②数学的应用向一切领域渗透——各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；③数学的日益重要性远远没有取得共识。2．为什么会出现说数学没有用？①数学的语言比较抽象，不容易掌握；②数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。3．数学建模（MathematicalModeling）的重要性①数学建模不是新东西（why？）②用数

4、学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学表述就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程。（比如欧式几何、微积分都是很好的模型，如此简单，为什么以前没有意识到呢或说重视不够呢？）③问题出在：当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（如推导、计算）求解该数学问题，并用实际情形来验证；若需要就要修改数学模型并重复上述过程，如果有一步完不成，意义就不大了。在以前，大量的计算令人生畏（在建模过程中往往遇到），现如今高性能的计算机的出现，使数学建模又掀起了一个高潮

5、。④从科学、工程、经济和管理等角度看：数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。⑤数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。用框图的形式可以表示如下实际问题抽象、简化、假设确定变量参数建立数学模型并数学、数值地求解用实际问题的实测数据来检验该数学模型支付使用，从而可产生经济、社会效益符合实际不符合实际用步骤的形式描述如下：（1）了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（建模准备）（2）抓住主

6、要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当的假设（提出假设）（3）利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（建立模型）（4）模型的求解、分析和检验。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复，即修改假设，重新建模。1．两个例子例1：万有引力定律的发现万有引力定律的发现是伟大科学

7、家牛顿的重要贡献之一，牛顿在研究力学的过程中发明了微积分，又成功地在开普勒三定律的基础上运用微积分推出了万有引力定律．这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一．历史背景十五世纪下半叶开始，欧洲商品经济的繁荣促进了航海业的发展．哥伦布新大陆的发现、麦哲伦的环球远航，引起了社会的普遍关注．当时远洋航船的方位全靠星球的位置来确定．在强大的社会需要推动下，天文观测的精确程度不断提高．在大量的实际观测数据面前，一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了．波兰天文学家哥白尼(1473—1543

8、)在天文观测的基础上，冲破宗教统治和“地心说”的束缚，提出了“日心说”．这是天文学乃至整个科学的一大革命．但是由于历史条件和科学水平的限制，哥白尼的理论还有一些缺陷．他接受了圆周运动是最完善的天体运动形式的概念，认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的．意大利物理学家伽里略(1564—1642)不仅用观察方法证实了哥白尼的学说，而且用实验方法发现了落体定律和惯性原理，揭示了物体在不受阻挠时作匀速直线运动的规律，德国天文学家、数学家开普勒(1571—1630)在第谷．布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上