数学学习中的概括_涂荣豹

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1、第13卷第1期数学教育学报Vol.13,No.12004年2月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONFeb.,2004数学学习中的概括12涂荣豹，陈嫣（1．南京师范大学数学与计算机科学学院，江苏南京210097；2．江苏自动化研究所，江苏连云港222006）摘要：概括是指在数学学习过程中把具有共同特征的事物联系起来进行考察，抽象出数学对象的本质属性，将其推广为包含这一对象的更大范围的同类数学对象的本质属性；或是把具有共同特征的数学对象结合起来进行考察，寻找和抽取其中内在关系和规律的

2、不断发展的思维活动方式或思维动作．概括具有3个基本特征：二元性、过程性和层次性．对数学对象的概括，一般经过5个阶段：观察阶段、抽取阶段、筛选阶段、推广阶段、确认阶段．按照概括过程中所表现出来的主要特征，可以把数学学习中概括的方式分为6种类型：类比式概括、归纳式概括、演绎式概括、经验式概括、理论式概括和简约式概括．关键词：数学学习；概括；共同特征；本质属性中图分类号：G421文献标识码：A文章编号：1004–9894（2004）01–0017–06质．本文意在克服教育论述脱离数学内容、经验之0引言谈脱离

3、理论提升、抽象理论脱离具体实践的倾向，数学研究的对象是抽象的形式化的思想材料，深入数学的内部，探索数学学习中概括的特征、内这决定了数学具有高度概括性；数学的历史展示了容、过程和方式，揭示数学学习中概括的规律．数学理论的形成和发展也是一个不断概括的过1数学学习中概括的特征程．这表明概括是研究数学的基本思想方法．从这个意义上可以说，概括是数学最本质的特征之数学学习中的概括具有3个基本特征：二元性、一．因此，学习数学必然需要概括．这决定了，概过程性和层次性．括是数学学习的一个重要的基本方法．概括在数学1.1

4、二元性学习中的基础性和重要性，使得概括在数学学习中数学学习中概括的二元性体现在概括的关键成为数学能力发展的关键，概括水平也成为数学学因素、基本阶段和主要目标3个方面．习水平的重要标志．苏联著名的心理学家克鲁捷茨（1）共同特征和本质属性是概括的2个关键因基等通过实验研究证实：“概括能力是数学能力最素．本质属性是内含的，一般不能够直接观察得重要的指标，在数学学习中很容易成功的学生往往到．共同特征有内外之分，内部的共同特征一般也[1]是因为他们具有较强的概括能力．”不能够直接观察到，外部的共同特征则可以通过

5、观本着“教与学对应”的原则，数学教育要把研察获得；本质属性的主体是“类”这个单个对象，究“学生的学”放在首位；本着“教与数学对应”共同特征的主体是“类”中的多个对象．本质属性[2]的原则，数学教育则要把研究“学生对数学的学和共同特征是相辅相成、相互促进的关系．概括是习”放在首位．本文以“数学学习中的概括”作为在不断分析对象共同特征的过程中抽取本质属性，主题，正是遵循了这样的宗旨．数学自身的特点决即是在对象的个性和共性中寻找区别与联系，达到定了数学的概括与其它学科的概括大不一样，数学对事物的本质认识．的

6、概括有其自身的特点和规律．目前对数学学习中以三角形和多边形概念的形成为例：比较、寻找概括的研究不仅为数不多，而且以心理学家和教育三角形形状的具体事物—————→共同特征抽取、确认概括学家为众，主要围绕能力与思维2个方面，重点强—————→本质属性——→三角形概念（A）．比较、寻找调数学概括能力在数学学习中的地位和作用，较少三、四边形等本质属性—————→共同特征抽取、确认概括涉及数学概括的本原问题，更难触及数学概括的本—————→本质属性——→多边形概念（B）．这2个概括过程表明，概括的关键是寻找共同

7、收稿日期：2003–12–22作者简介：涂荣豹（1947—），男，江苏南京人，全国高师数学教育研究会副理事长，江苏省数学教育研究会理事长，南京数学学会秘书长，南京师范大学教授，博士生导师，主要从事数学教育研究．18数学教育学报第13卷特征和抽取本质属性．其中，概括A中的共同特征可见，概念的概括指向本质属性，规律的概括来自于若干具体事物原型的属性，本质属性则是这指向共同特征．些具体对象所形成的“类”——三角形的本质属性；1.2过程性概括B中的共同特征来自于若干数学对象——三、数学概括是思维活动的一种方式

8、，是在对数学四边形等的属性，本质属性则是这些三、四边形等对象进行思维加工过程中所运用的一种思维动作，所形成的“类”——多边形的本质属性．概括B中因此具有过程性．A、B两个概括表明，这种过程的共同特征来自于若干数学对象的本质属性，概括性表现为概括要经历若干阶段，每个阶段需要其它A的本质属性成为概括B的“具体事物原型”．多种思维动作配合进行，逐步达到整个概括过程的抽象和概括紧密联系．抽象是概括的基础，没完成．有抽象就不可能认识数学对象的本质属性，就无法数学概