理科概率与统计(整理)

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1、概率与统计知识要点：一、随机变量.1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2.离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量

2、ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.……P……有性质①；②.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，

3、且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4.几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布，并记，其中二、数学期望与方差.1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均

4、值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量的数学期望：①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.8②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为：.⑶两点分布：，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）⑸几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都

5、反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为⑶两点分布：其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：⑸几何分布：5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.三、统计：1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签符和随机数表法）；（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容

6、量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；典型例题分析：例1某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．例2某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，8…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）(Ⅲ)从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们

7、在同一分数段的概率.例3统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是；优秀率为。例4在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：分组频数合计（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？例5、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000

8、人中再用分层抽样方法抽出