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1、第四节概率与统计的综合应用概率与统计内容在高考中会出现一道大题和1～2道小题，占分大约17～22分，占整个高考的15％左右，试题的难度为中等偏易或中等，试题特点是小题更加注重基础，大题更加注重能力，通过对课本知识的重新组合，考查概率与统计内容的要点知识和典型方法，是高考卷中的主流应用题的备考点．考试要求：（1）掌握概率与统计的基本概念．（2）掌握几种典型概型、分布列及计算公式．（3）掌握统计及统计案例的典型问题．（4）能抓住与各模块知识的联系，解决概率与统计的综合应用问题．题型一概率与排列组合例1在1
2、，2，3，4，5的所有排列中，（1）求满足的概率；（2）记为某一排列中满足的个数，求的分布列和数学期望．点拨：涉及几个量的联系，不容易一下考虑清楚，列举分类解决问题．解：（1）所有的排列种数有个．满足的排列中，若取集合中的元素，取集合中的元素，都符合要求，有个．若取集合中的元素，取集合中的元素，这时符合要求的排列只有；；；共4个．故满足的概率．（2）随机变量可以取．ks5u，，，，．故的分布列为01235的数学期望．…………14分易错点：涉及到的数字较多，大小交叉，分类计算时容易错．变式与引申1：由数
3、字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个．（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得”的概率；（2）记为组成这个数的相同数字的个数的最大值，求的分布列和期望．题型二概率与方程不等式例2第5页（共5页）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，求随机变量的数学期望．（2）求证：从袋中任意摸
4、出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．点拨：关键是设定未知量，将问题还原成常见的概率类型，第一问结合目标设袋中白球的个数为．第二问针对黑球的概率设置问题，因而设袋中有个黑球，且总球数为．解：（1）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123的数学期望．（2）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，所以，，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为
5、事件B，则．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．易错点：审题忽略关键词，变量设定不科学．计算与分析讨论易出错．变式与引申2：在一个盒子中有个球，其中2个球的标号是不同的偶数，其余n个球的标号是不同的奇数．甲乙两人同时从盒子中各取出2个球，若这4个球的标号之和为奇数，则甲胜；若这4个球的标号之和为偶数，则乙胜．规定：胜者得2分，负者得0分．（1）当时，求甲的得分的分布列和期望；（2）当乙胜概率为的值．题型三概率与函数例3袋中有红球和白球共100个，从这只袋中任取3只
6、，问袋中有几个红球时，使取得的3个球全为同色的概率最小？点拨：设红球或者白球个数，构造函数模型解题．解：设分别为红球，白球的个数，则有，从100个球中任取3个球，全为红色球的概率为；从100个球中任取3个球全为白色的概率为，所以取得3个同色球的概率为第5页（共5页）===；时，最小，此时．易错点：设元列式解题时，化简过程出错．变式与引申3：某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数
7、关系式如下表所示：市场情形概率价格与产量的函数关系式好0．4中0．4差0．2设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量表示当产量为时市场前景无法确定的利润．（1）分别求利润与产量的函数关系式；（2）当产量确定时，求期望；（3）试问产量取何值时，取得最大值．题型四概率与数列例4甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏,规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数时,原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数时,就由对方接着掷．第一次由甲开始掷,若第n次由甲掷的概率为,（1）求甲抛掷一次的点数之和为3的倍数的
8、概率；（2）求．点拨：第n+1次由甲掷这一事件，包含两类：第n次由甲掷和第n次由乙掷；构造数列模型解题．解：（1）因抛抛两颗骰子出现的点数为：1、2、3、4、5、6,其点数和为3的倍数的情况有：(1,2),(2,1),(3,3),(3,6),(6,3),(6,6),(2,6),(6,2),(4,5),(5,4),(1,5),(5,1)共12种可能．甲掷出的点数之和为3的倍数的概率为（2）第n+1次由甲掷这一事件,包含两类：①第n次由甲掷,第n+1次继续由
