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《2009-2011级高数竞赛卷集锦》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)考试时间：2012年6月2日(星期六)上午8：30—11：00境内（外）生院别班级准考证号姓名成绩大题一二三四五六七满分3610101215125得分一、填空题(本题共12小题，每小题3分，满分36分，把答案直接填在题中的横线上)22x１、设fx(1−=)ln，且f[()]lngx=x，则gxdx()=．2∫x−22∂z２、设zfx=(,)yy，其中f具有二阶连续偏导数，则=．∂x∂y2x３、设fxy(,)ln(=+x1)(1)arcsin+y−，则fx(,1)=．xy2４、函数fxx()=−
2、+32x在区间[3,4]−上的最大值为M=．ddddddddd５、已知向量r满足：ra⊥，rb⊥，且Prjdr=14，其中a=(2,3,1)−，b=−(1,2,3)，c=(2,1,2)，cd则r=．22６、二重积分∫∫sgn(xyd+−=2)σ．22xy+≤41xxxx７、极限lim12()+++34=．x→+∞211−x228、二次积分∫∫dxln(1++xydy)=．002222229、由球面x++=yzz4及圆锥面x+=yz所围成、含有z轴的部分立体的体积V=．10、已知函数f()x在区间(1,+∞)内可导，且lim[()fxx
3、+fxa′()]=，则limf()x=．x→+∞x→+∞121−x11、∫xdx=．01+xππcosxsincosxx12、已知dx=A，则2dx=．∫0(2x+)2∫0x+1华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)第1页共2页µ以下各题在答题纸上解答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、准考证号．．．．．．．⎧⎪ln(1+ax3)⎪,0x<;⎪xx−arcsin⎪二、(本题满分10分)设函数fx()==⎨6,x0;⎪ax2exa+−−x1⎪,0x>,⎪xxsin⎪⎩4问：(1)当a为何值时，f()x在点x=0
4、处连续？（2）当a为何值时，x=0是f()x的可去间断点？⎧10xyz+−=2227222三、(本题满分10分)过直线⎨作曲面32xyz+−=7的切平面，求此切平面的方程．⎩xyz+−=0y⎧ze=四、(本题满分12分)设Σ为曲线⎨(1≤y≤2)绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的下侧，利用Gauss⎩x=0公式计算曲面积分2I=−∫∫42(zxdydzzdzdx+1−zdxdy)．Σ2222五、(本题满分15分)设函数f()t在区间[0,+∞)上连续，Ω()tx=+{(,,)
5、yzxyzt+≤,z≥0}，Σ()t为Ω()t的表面，D()t
6、为Ω()t在xOy面上的投影区域，Lt()为D()t的边界曲线．已知当t∈(0,+∞)时，恒有222222222222îï∫f()xyxyd++s++∫∫(xyzd+=+++)2()S∫∫fxydσ∫∫∫xyzd+v，Lt()ΣΩ()tDt()()t求f()t的表达式．六、(本题满分12分)设非负、具有二阶连续导数的函数yyxx=()(≥0)满足方程xy′′−+=y′20；当曲线y=yx()过原点时，其与直线x=1及y=0所围成平面图形D的面积为2，求D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．七、(本题满分5分)设函数f()x在闭区间[0,1
7、]上具有连续导数，且f(0)=0，f(1)=1，证明1−1∫
8、()()
9、fxfxd−′xe≥．0华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)第2页共2页考试时间：2012年6月2日(星期六)上午8：30—11：00华侨大学2012年高等数学竞赛试题(A卷)参考答案与评分标准一、填空题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）2x1、x+−2ln
10、xC1
11、+；2、f′++xyf′′yf′′；3、；4、20；5、(14,10,2)；6、0；111122x+1ππ2π+4A7、4；8、(2ln21)−；9、8π；10、a；11、−；12、−．
12、443422()π+322ax33axax二、(本题满分10分)解：（1）lim()fxa===limlimlim=−6【3】xx→→00−−xx−arcsinx→0−−−x2x→0−111−x22ax22axaxe+−−xax12ae+−xaae+22limfx()==limlim=lim=2(a+2)【6】++++xx→→00112x→0x→01xx4222由limf()xf==lim()xf(0)，即−=+=62aa(2)6，可得a=−1，−+xx→→00故a=−1时，f()x在点x=0处连续．【8】2（2）由−=+≠62aa(
13、2)6，可得a=−2，故a=−2时，x=0是f()x的可去间断点．【10】三、(本题满分10分)解：过该直线的平面束方程为：(10xyz+2−−++−=227)λ(xyz)0d其法向量n=++−()10λ,2λλ,2−1
