第9章_习题详解new

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1、第9章系统的状态变量分析习题详解9-1已知一RL电路如题9-1图所示，输入电压为vi(t)，电路的输出为电阻两端的电压vR(t)(1)选电流i(t)为系统状态变量，试写出电路的状态方程。(2)选电压vR(t)为系统状态变量，试写出电路的状态方程。i(t)L++vi(t)RvR(t)−−题9-1图分析：由电路建立状态方程和输出方程的步骤为(1)一般选择电感电流和电容电压作为状态变量x(t)；(2)应用KCL或KVL写出状态变量的一阶导数x&(t)与状态变量和输入的关系式即得状态方程；(3)根据KCL或KVL写出用状态变量和输入表示的输出，即得输出方程。解：(1)记i(t)=x(t)，v(t)=f

2、(t)，v(t)=y(t)iR由KVL，列写回路方程有f(t)=Lx&(t)+xR整理后可得状态方程为R1x&(t)=−x(t)+f(t)LL由KVL可以直接得到输出方程为y(t)=Rx(t)(2)记v(t)=x(t)=y(t)，v(t)=f(t)Ri由KCL，可得回路电流为i(t)=x(t)/R列写回路方程有x&(t)f(t)=L+x(t)R整理后即得状态方程为RRx&(t)=−x(t)+f(t)LL由于输出vR(t)即为状态变量，故输出方程为y(t)=x(t)第9章系统的状态变量分析2139-2用电容C取代题9-1图电路中的电阻R，电路的输入是电压vi(t)。(1)选电流i(t)和电容两端

3、的电压vC(t)为系统状态变量，电路的输出为电压vC(t)，试写出电路的状态方程和输出方程。(2)选电流i(t)和电容两端的电压vC(t)为系统状态变量，电路的输出为电流i(t)，试写出电路的状态方程和输出方程。解：解题方法同9-1题，答案为111(1)x&1(t)=−x2(t)+f(t)，x&2(t)=x1(t)，y(t)=x2(t)LLC111(2)x&1(t)=−x2(t)+f(t)，x&2(t)=x1(t)，y(t)=x1(t)LLC9-3根据题9-3图，试写出电路的状态方程。1kΩ+v(t)−1H++v(t)1F1kΩ1v(t)2−−题9-3图解：解题方法同9-1题，答案为x&1(t

4、)=−0.001x1(t)−0.001f1(t)，x&2(t)=−1000x2(t)+f2(t)，y(t)=x1(t)−1000x2(t)9-4试写出下列微分方程描述的系统的状态方程。(1)y&(t)+y(t)=f(t)(2)5&y&(t)+4y&(t)+y(t)=3f(t)(3)&y&(t)+5y&(t)+6y(t)−y(t)=4f(t)−f(t)111212y&(t)+y(t)+8y(t)=f(t)−3f(t)22112(4)y&(t)+y(t)+2y(t)=f(t)−5f(t)11212&y&(t)−9y&(t)+16y(t)−y(t)=3f(t)+f(t)222112分析：上述微分方程

5、均是式错误！未找到引用源。形式的微分方程，可以选取(n−1)y(t),y'(t),L,y(t)作为系统的状态变量x1(t),x2(t),L,xn(t)，再求出x&1(t),x&2(t),L,x&n(t)与状态变量及输入之间的关系，即得状态方程。也可以由微分方程画出系统的模拟框图，再由模拟框图建立系统的状态方程。解：直接由微分方程建立系统的状态方程。(1)选y(t)作为系统的状态变量x(t)，由原微分方程式可得系统的状态方程为x&(t)=f(t)−x(t)系统的输出方程为214信号与系统学习指导及习题详解y(t)=x(t)(2)选y(t)和y&(t)作为系统的状态变量，即x(t)=y(t)，x(

6、t)=y&(t)12由原微分方程式和系统状态的定义可得系统的状态方程为⎧x&1(t)=x2(t)⎪⎨314⎪⎩x&2(t)=&y&(t)=f(t)−x1(t)−x2(t)555系统的输出方程为y(t)=x(t)1写成矩阵形式为⎡x&1(t)⎤⎡01⎤⎡x1(t)⎤⎡0⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎢⎥f(t)⎣x&2(t)⎦⎣−1/5−4/5⎦⎣x2(t)⎦⎣3/5⎦⎡x1(t)⎤[y(t)]=[]10⎢⎥x(t)⎣2⎦(3)选y1(t),y&1(t)和y2(t)作为系统的状态变量，即x1(t)=y1(t)，x2(t)=y&1(t)，x3(t)=y2(t)由原微分方程式和系统状态的定义得系统的状态方程为⎧

7、x&1(t)=x2(t)⎪⎨x&2(t)=4f1(t)−f2(t)−6x1(t)−5x2(t)+x3(t)⎪⎩x&3(t)=f1(t)−3f2(t)−8x1(t)−x3(t)系统的输出方程为y1(t)=x1(t)，y2(t)=x3(t)写成矩阵形式为⎡x&1(t)⎤⎡010⎤⎡x1(t)⎤⎢x&(t)⎥=⎢−6−51⎥⎢x(t)⎥+⎡4−1⎤⎡f1(t)⎤⎢2⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎥x&(t)x(t)