2011南理工矩阵分析试题

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1、2011年南京理工大学硕士研究生《矩阵分析与计算》考试（A卷）注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效0.60.5一、（12分）设矩阵A，计算A,,AAA。12F0.10.3141二、（15分）求矩阵A130的初等因子及Jordan标准形。0011011三、（20分）已知Ab011,11121（1）求A的满秩分解；（2）求A；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb是否有解；（4）求Axb的极小范数解或极小范数最小二乘解，

2、并指出所求的是哪种解．2051四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明A4101有三互异特征值.1210i1020x140101x3五、（10分）用矩阵的LU分解求解方程组21243x1330103x4513六、（10分）利用幂法计算矩阵的按模最大特征值及对应特征向量。19（保留4位有效数字）3081Atdxt()七、（15分）已知A316,（1）求e；（2）求Ax满足x(0)1dt

3、2051的解。nn八、（8分）对于AxbA,R为对称正定矩阵，试述求解该线性方程组的极小化方法的基本算法思想，并比较最速下降法与共轭梯度法之间的联系与区别。2011年南京理工大学硕士研究生《矩阵分析与计算》考试（A卷）参考答案注意：所有试题答案都写在答题纸上，写在试卷上无效0.60.5一、（12分）设矩阵A，计算A,,AAA。12F0.10.3解：AAA0.8,1.1,0.71=0.8426………….9分1F0.370.33TTAA(AA)0.6853，………….2分

4、max0.330.34T从而A(AA)0.8278………….1分2max141二、（15分）求矩阵A130的初等因子及Jordan标准形。0012解：初等因子1,(1)………….10分1Jordan矩阵J11………….5分11011三、（20分）已知Ab011,11121（1）求A的满秩分解；（2）求A；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组Axb是否有解；（4）求Axb的极小范数解或极小范数最小二乘解，并

5、指出所求的是哪种解．10101解：（1）AFG01………….6分011115411(2)A451………….6分91122T(3)AbA112b,方程组无解；………….4分32T（4）极小范数最小二乘解为xAb112………….4分092051四、（10分）利用盖尔圆隔离定理证明A4101有三互异特征值。1210i1解：取Ddiag(1,1,3)，则BDAD的三个行盖尔园隔离，因此矩阵有3个互异特征值.………….10分

6、1020x140101x3五、（10分）用LU分解求解方程组21243x1330103x45解:102011020010101101………….5分124312121010301012T求解得到x(2,2,1,1)………….5分13六、（10分）利用幂法计算矩阵的按模最大特征值及对应特征向量。19T（取初始向量(1,1),结果保留4位有效数字）T解:8.6055

7、,特征向量(0.3945,1)…………10分max3081Atdxt()七、（15分）已知A316,（1）求e；（2）求Ax满足x(0)1dt2051的解。32解:(1)det(IA)(1),设rabc(),有12tabcetate2tt2t2abtebtete…………5分2t21atecetttete2t21408ttAt2teaAbAcIet316t…………5

8、分2014tt112tAtx()tex(0)19t…………5分16tnn八、（8分）对于AxbA,R为对称正定矩阵，试述求解该线性方程组的极小化方法的基本算法思想，并比较最俗下降法与共轭梯度法之间的联系与区别。解:要点:变分原理…………4