2015南理工矩阵分析与计算试卷解答及评分

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1、2015年矩阵分析与计算试卷解答及评分标准一、（10分）设，求A的不变因子、初等因子，并写出A的Jordan标准形。解：行列式因子D1=1；D12=l+1；D13=1-l,所以D2=1；D3=(l-2)(l+1)2，所以不变因子d1=d2=1；d3=(l-2)(l+1)2（6分）；初等因子为(l-2),(l+1)2(8分)A的Jordan标准形为(10分)二、（10分）利用盖尔圆定理及特征值隔离法证明：矩阵有三个互异实特征值。解：（1）写出A的行或列盖尔圆,但彼此不孤立。（4分）；（2）取D=diag(1,1,2)

2、,则A与B=D-1AD特征值相同，B的三个行盖尔圆分别为B的三个盖尔圆彼此孤立，（8分），故各盖尔圆内有且仅有1个特征值，而B是实矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，故特征值均是实的。（10分）三、（10分）用选列主元的Doolittle分解求解方程组。解：系数矩阵A的选列主元的Doolittle分解为。　（6分）原方程组等价于。解Ly=b1，得y=[5,4/3,1/2]’，…(8分);再解Ux=y,得x=[11/21]’…….(10分).四、（11分）（1）设矩阵A按模最大的特征值唯一，请写出近似其按模最大特征值及其

3、相应特征向量的算法。（2）利用该算法计算按模最大特征值及特征向量的近似值：设初始向量v0=[111]T，迭代3次，保留4位小数。解:（1）假设按模最大特征值l1，相应按模最大分量为1的规范特征向量为x1，则以下迭代算公式给出了计算l1及x1的近似值的方法：(i)令k=0，任取适维非零向量v0：其按模最大分量（记作max(v0)）为1；(ii)(iii)k:=k+1,并返回(ii）。则当k®¥时，mk®l1,且vk®x1。（5分）（2）利用以上公式，对所给初始v0迭代三次所得结果依次为u1=[2510]';m1=10

4、;v1=[0.20000.50001.0000]';u2=[1.202.208.70];m2=8.7000;v2=[0.13790.25291.0000]';u3=[1.13791.14948.3908];m3=8.3908;v3=[0.13560.13701.0000]';三次迭代所得按模最大特征值及相应特征向量分别为lmax»m3=8.3908,x1»v3=[0.13560.13701.0000]'(11分)五、（20分）已知，（1）求A的满秩分解；（2）求A的Moore-Penrose逆；（3）用广义逆矩阵方

5、法判断线性方程组是否有解。有解时给出极小范数解，并说明它是所有解中范数最小的；无解时给出最小二乘解所满足的方程，给出极小范数最小二乘解，说明它是所有最小二乘解中范数最小的．解：(1)(5分);（分解不唯一，也可以是）(2)(9分)(3),方程组无解；(11分)最小二乘解所满足的方程为Ax=AA+b，(13分)其极小范数最小二乘解为(15分)因为最小二乘解方程的通解为(17分)而对任意yÎR4,利用A+的特性，有且等号当且仅当(AA+-I)y=0时才成立。(20分)六、（12分）对于如下线性方程组，（1）写出求近似解

6、的Gauss-Seidel迭代公式，并证明该迭代法是收敛的；（2）用Gauss-Seidel迭代公式计算近似解，设初始向量为x(0)=[000]T,迭代2次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。解：(1)该方程组的G-S-迭代为(4)迭代矩阵的特征方程同解于方程：=0，即迭代矩阵的三特征值为显然所以r(BG)<1，所以G-S迭代收敛。(8分)（2）2次迭代值依次为(12分)七、（12）假设x及y分别是以下方程组的解，试估计解的相对误差。（保留到小数点后第四位。）。解：系数矩阵A的逆矩阵为（3分），A的相应

7、于无穷范数的条件数为cond1(A)=

8、

9、A

10、

11、1×

12、

13、A-1

14、

15、1=3（6分）（9）（12分）八、(15分)已知,求（1）；（2）解：（1）令j(l)=det(lI-A)=(l-1)3,令elt=q(l,t)j(l)+a2(t)l2+a1(t)l+a0(t),则由j(A)=0，得eAt=a2(t)A2+a1(t)A+a0(t)I；(5分)利用j(l)的特性有：解之得(9分)（11分）（2）(15分)