2009矩阵分析试题a参考答案及评分标准

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1、重庆邮电大学2009级研究生(矩阵分析)考卷（A卷）参考答案及评分细则一、已知，，，求与的和与交的基和维数。（10分）解：因为+=(2分)由于秩=3，且是向量组的一个极大相信无关组，所以和空间的维数是3，基为。(2分)设于是由交空间定义可知此即解之得(2分)于是，所以交空间的维数为1，基为(2分)二、证明：Jordan块相似于矩阵，这里为任意实数。（10分）证明：由于容易求出两个矩阵的不变因子均为，从而这两个9矩阵相似，于是矩阵与相似.三、求矩阵的(1)Jordan标准型；（2）变换矩阵P；（3）计

2、算。（10分）解（1）Jordan标准型为(3分)（2）相似变换矩阵为(3分)（3）由于，因此，容易计算(4分)四、验证矩阵是正规阵，并求酉矩阵，使为对角矩阵。(10分)解:,(2分),令得特征根:9(2分)当时,解得特征向量为:当时,解得特征向量为:当时,解得特征向量为:(3分)显然正交,将它们分别单位化得:,,令得(3分)五、已知是矩阵，且（为自然数），试证：。（10分）证明:因为是矩阵，所以存在酉矩阵使得,(其中为A的特征根,且为实数)(3分)于是(2分)从而9(2分)所以故(3分)六、验证矩

3、阵为单纯矩阵，并求的谱分解。（10分）解:因为所以得特征要分别为:(3分)当时,求得线性无关的特征向量分别为,(1分)当时,求得线性无关的特征向量分别为(1分)所以9因此(3分)于是的投影矩阵为故谱分解表达式为(2分)9七、讨论下列矩阵幂级数的敛散。（10分）八、设与是实数域上的线性空间的两组基，且，又对任意的有证明：（1）是中的向量范数；（2）当是正交矩阵时，有。（10分）9九、已知矩阵计算。（10分）9十、以下三题任选一道。（10分）1、证明:在上的任何一个正交投影矩阵是半正定的矩阵。证明:由正

4、交投影矩阵的性质知:存在次酉矩阵使得于是,由知是矩阵(5分)又由于当时有所以是半正定的矩阵(5分)2、证明：正规矩阵属于不同特征值的特征子空间是互相正交的。证明:设则(4分)9由正规矩阵的性质知:(4分)由于,故(2分)3、设V是数域K上的2维线性空间，V的一组基为，V的两个子空间分别为证明：V=W1ÅW2.证明:由于，.(3分)因此，，(2分)而线性无关，所以，，(3分)又因为，，所以V=W1ÅW2.(2分)9