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《2010-2011学年第二学期《微积分ii(第一层次)》期中考试参考答案new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、南京大学大学数学（第一层次）期中试卷2011.4.23一、计算下列各题：（每小题6分，共48分）⎧x−+=yz1,1.将直线⎨方程化为点向式方程及参数式方程.⎩2x++=yz5.解：在直线方程中令z=0，可得直线上的点P=(2,1,0)，两平面的法向量为：0����n=(1,1,1),−n=(2,1,1),n×n=−(2,1,3)作为直线的方向向量，故所求直线的点1212x−2y−1z⎧x=−22,t向式方程为：==，其参数式为：⎪⎨y=+1t,t为参数.−213⎪⎩z=3,t2.求直线Lx:−=1y=−1z在平面π:x−+
2、y2z=1上的投影直线L的方程.0解：过直线L作一平面π，使之垂直于平面π，则π与π的交线就是L在π上的投影直11x−−=y10,线L.将直线L的方程写成两个平面的交线的形式：{作过L的平面束：0y+−=z10.π:x−−+y1λ(y+−z1)=0或x+(λ−1)y+λz−(1+λ)=0。1令π⊥π，得11(⋅+λ−⋅−+⋅=1)(1)λ20,λ=−2.故投影平面π为x−3y−2z+=10，11x−+y2z−=10,投影直线L的方程为{0x−3y−2z+=10.⎛11⎞−⎜+⎟⎛11⎞⎜x2y2⎟lim⎜+⎟e⎝⎠3.求二重
3、极限22.(,)xy→(0,0)⎝xy⎠11u解：令2+2=u，则当(,)xy→(0,0)⇔u→+∞，故原式=limu=0.xyu→+∞e44224.设z=x+y−x−2xy−y，求z的极值.3⎧⎪z′=4x−2x−2y=02x解：函数的定义域为R，由⎨，3⎪z′=4y−2x−2y=0⎩y122解得驻点为P(0,0),P(1,1),P(1,1)−−.又z′′=12x−2,z′′=−2,z′′=12y−2.123xxxyyy2对点P，A=−2,B=−2,C=−∆=2,B−AC=0，这时要用定义去判别.在P的1122某个邻域内取
4、Q(,)(0εε<ε<1),(zQ)=2εε(−2)<0,取Q(-,)(0εε<ε<1),而1124zQ()=2ε>0,所以函数z在P处不取得极值.21对点P，P,A=10>0,B=−2,C=10,∆=−96<0,所以P，P是极小值点，极小2323值为：z(1,1)±±=−2.222x5.求上半圆锥z=x+yz,≥0，被平面z=+1所截部分的面积.222x222(x−2/3)y解：交线满足(+1)=x+y，故投影区域为D={(,)
5、xy+≤1}，216/94/32222由于z=x+y，得z′=xzz/,′=yz/，故1+z′
6、+z′=2.所以所求面积为：xyxy86S=2∫∫dxdy=2iπ16/94/3=π.D9x2−t6．设fx()=∫edt，求定积分.1解：利用累次积分交换次序，原式=1x2111t1−t2−t2−t21−t21−1xdxedt=−xdxedt=−edtxdx=−tedt=(e−1).∫0∫1∫0∫x2∫0∫02∫0422222⎧x+y+z=a,7.求I=�∫(x+xds)，其中C:⎨.C⎩x++=yz0.222解:由于对称性，�∫Cxds=�∫Cyds=�∫Czds,�∫Cxds=�∫Cyds=�∫Czds,2321222
7、a2πa所以�∫C(x+xds)=�∫C(x+y+z+++xyzds)=�∫Cds=.33322⎧x+y=1,8．求I=�∫(z−ydx)+(xzdy−)+(x−ydz)，其中C:⎨从z轴正向C⎩x−+=yz2.往z轴负向看C的方向是顺时针的.解：令x=cos,θy=sin,θz=−2cosθ+sin,0θ≤θ≤2π，2π22所以I=∫[(2cos)(sin)(2cos−θ−θ+θ−−2sin)cosθθ+(cosθ−sinθ)]dθ022π=∫[2(sinθ+cos)2cos2θ−θ−1]dθ=−2π.0二、设直线L与平面
8、π：2x++=yz1垂直，并且与已知直线Lx:−=1y+=−2z3，1xy−2L:==z都相交，求L的方程.（10分）232解：设L与LL,的交点分别是P(1+−+t,2t,3+t),P(3,12,)s+ss，则有12123st−−12st−+3st−−3==，解得t=1,s=−6，所以，P(2,1,4),−P(-18,-11,-6)，12211x−2y+1z−4由直线的两点式得L的方程为：==.211222⎛z⎞三、设函数z=zxy(,)由方程x+y+z=yf⎜⎟所确定，求⎝y⎠222∂z∂z(x−y−z)+2xy（要求结
9、果只能和变量xyz,,有关,与函数fu()无关）.（10分）∂x∂y222⎛z⎞解：设Fxyz(,,)=x+y+z−yf⎜⎟，⎝y⎠⎛z⎞z⎛z⎞⎛z⎞F′=2,xF′=2y−f⎜⎟+f′⎜⎟,F′=2z−f′⎜⎟，xyz⎝y⎠y⎝y⎠⎝y⎠⎛z⎞z⎛z⎞2y−f⎜⎟+f′⎜⎟∂z2x∂z
