南京大学2013-2014学年第二学期《微积分II(第一层次)》期中考试参考答案.pdf

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1、2013-2014学年第二学期第一层次微积分II期中试卷参考答案2014.4.26一、计算下列各题：（每小题6分，共48分）xyz20,1.求过直线L:且与平面:2xy5z5垂直的平面方程.xyz20.解：设过L的平面束方程为：xyz2(xyz2)0，其法向量为：n(1,1,1)，它与平面的法向量n(2,1,5)垂直，可得4/3，所以所求平面方程为：x7yz140.x2y1z2.求以直线L:为对称轴，半径为2的圆柱面方

2、程.211解：直线上有点P(2,1,0)，方向向量为s(2,1,1)，设圆柱面上的任意一点为0P(x,y,z)，据题意有：

3、PPs

4、2

5、s

6、，整理得所求方程为：0222(yz1)(2zx2)(x2y4)24.223.若曲面zxy在P点的切平面与平面xy2z2和2xy30都垂直，求此切平面的方程.22解：设切点为P(x,y,xy)，法向量为n(2x,2y,1)，由题意，00000002x2y00n//(1,1,2)(2,1,0)(2,4,1

7、)，即1，得x1,y2.所以切点为0024P(1,2,5)，法向量为n(2,4,1).切平面为：2x4yz50.02xzz4.设由方程ln确定了函数zz(x,y)，求.2zyyz2解：设F(x,y,z)x/zln(z/y)，则有F/Fz/y(xz)，而yzy2222zzxz.223yyy(xz)y(xz)1/4y/(yx)5.计算二重积分edxdy，其中D为y0,x0,xy1所围区域.D解：设uy,vx

8、y，即xvu,yu,J(u,v)1.区域D化为D表示为1v1u/vD{(u,v)

9、0uv,0v1}，于是原式=dvedu(e1).0022z226．求三重积分edV，其中为zxy和za（a0）围成的空间区域.az2az2az2a2解：原式=dzedxdye(D)dzezdz(e1).00z02Dz2222xyza,7.求I1xyds，其中C:.Cxyz0.解：由轮换对称性可知Ixyds=yzdszxds，因

10、此1CCC11I(xyyzzx)ds(2xy2yz2zx)ds1CC36122221213[(xyz)(xyz)]dsadsa.6C6C3222xyz2,az8．求Iydxzdyxdz，其中C:(z0,a0)从z轴2Cxza.正向往z轴负向看C的方向是逆时针的.222解：将zax代入第二类曲线积分中消去z，得（是圆周2xya，取逆时2针方向，所围区域记为D），则I(yx)dx(ax)dy2dxdy2a

11、.2Dx1y3z5xy2z1二、求过点M(2,1,1)，且与两条直线L:，L:都12243312相交的直线方程.（12分）解：直线L过点M(1,3,5)，方向向量为s(2,4,3)；直线L过点M(0,2,1)，11122方向向量为s(3,1,2).过点M与L的平面的法向量nsMM(4,5,4)，故211111平面的方程为：4x5y4z10.1同理，过点M与L的平面的法向量nsMM(0,2,1)，故平面的方程为：2222222

12、yz30.2/44x5y4z10,所以所求直线方程为：2yz30.4/3yxsin,x0,三、设函数fxy(,)x(1)求f(x,y)在(0,0)点处的沿所有方向的方向0,x0.导数；(2)求f(x,y)的偏导数；(3)证明f(x,y)是平面上的可微函数.（12分）ff(tcos,cos)f(0,0)解：(1)取方向为l(cos,cos)，则(0,0)lim，lt0t4/3f(tcos)sin(cos/cos)①当cos0时，(

13、0,0)lim0,lt0tf00②当cos0时，(0,0)lim0.lt0t121f4yyfy⑵①x0时，x3sin()yx3cos(),x3cos().x3xxyx1f(x,y)f(0,y)f(x,y)y②x0时，f(0,y)limlimlimx3sin()0,xx0xx0xx0xf(0,yy)f(0,y)00f(0,y