复变函数第九讲new

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1、第九讲共形映射分式线性映射第六章第六章共形映射共形映射§1共形映射的概念§2分式线性映射§3唯一决定分式线性映射的条件§4几个初等函数所构成的映射§1共形映射的概念1.曲线的切线2.导数的几何意义3.共形映射的概念1.曲线的切线设连续曲线Czztt:(),[,]它的正向取增大时点移动的方向tz.若取z()0,tt(,),P,PC,,PP对应0000的参数分别为tt,t，00y(z)C:zz(t)割线PP对应于参数增大的t0P方向.P则割线的方向向量

2、PP与向量00zt()tzt()x00方向相同.ot割线方向PP的极限位置：0z()ttz(t)00zt()lim0t0t—曲线在CP处的切向量且方向与正向一致C.0若则zt()0,t(,),y(z)C:zz(t)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~00曲线在Cz00有切线,()ztP~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~就是切向量它的倾角,TP~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0Arg().zt0~~~~~~~~~~

3、~~~xo(1)Arg()zt曲线在点处的切线的Cz00正向与轴正方向之间的夹角x.(2)若曲线与曲线CC12y(z)C1:zz1(t)相交于点z,在交点处0两条曲线正向之间的z夹角就是它们的切线0正向之间的夹角.C2:zz2(t)xo2.解析函数导数的几何意义(辐角和模)设wfz()在区域内解析D,zDfz,且()0,00在内过Dz引一条有向光滑曲线0Czztt:(),[,]tz00(,),且z(),t0zt()0,0则wf(z)z平面上C:z

4、z(t)w平面上:wf[z(t)]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~—过点wf()z,正向相应于增大方向的曲线t.00wt()fzzt()()0000Argwt()Argf()Arzzg()t000记即Argf()zwArg()tzArg()t000即(1)y(z)zz(t)v(w)C::wf[z(t)]T'wf(z)Tw0z0xuoo若视轴与轴、轴与轴的正向相同称曲线的xuyv,C切线正向与映射后曲线的切线

5、正向之间的夹角为原曲线经映射Cwf()zz后在点处的转动角记作,.0~~~~~~~T'Tzw00xu即Argfz()Argwt()Arg()zt000(1)导数辐角Argf'(z)的几何意义①Argf('z)(f('z))0是曲线C经过wf(z)00映射后在点z的转动角.0~~~~~~由(1)式仅与映射wfz()及点有关则z,0②转动角的大小及方向与曲线的形状及C方向无关这种性质称为映射具有转动角,~~~~~~~~~~~~~~~的不变性.~~~~~~~~

6、~设曲线C、C在点z的夹角为，C、C12012在变换wf(z)下映射为相交于点wf(z)00的曲线、，、的夹角为.1212y(z)v(w)C2122wz2100C1wf(z)21x12oo1u由式)1(有，22112121——保角性由上述讨论我们有wf(z)过z的C,C过w的,(C,C)(,),0120121212这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质保角性(2)模f'(

7、z)的几何意义ii设且zzzre,wwwe00用sC表示上的点与之间的一段弧长zz;0表示上的对应点ww与之间的弧长.0y(z)v(w)Cwzwf(z)wzw0z0sxuoozwlim1,lim1z0s0wsfz()limlim(3)0zz00szsfz()称为曲线在的伸缩率Cz.00~~~~~~~易见,()fz与映射wfzz()及有关而与曲线,00的形状及方向无关..—伸缩率

8、不变性3.共形映射的概念定义设wfzz()在的邻域内有定义，且在z具00有保角性和伸缩率的不变性，则称映射wfz()在为共形的，或称zwf()z在z是共形映射.00~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~若wfzD()在内的每一点都是共形的，则称wfz()是区域内的共形映射D.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~由定义及以上分析有:定理若wfzz()在点解析且fz()0,00则wfzz()在是共形保角映射,且()0Argfz()为转动角,fz()为伸缩率.00若上述共