3数理统计基本概念

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1、第二章数理统计的基本概念数理统计数理统计可以分为两大类：一类是如何科学地安排试验，以获取有效的随机数据。-------描述统计学如：试验设计、抽样方法。另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为采取一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论.-------推断统计学，如：参数估计、假设检验等。例如某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：1、估计这批合金材料的强度均值是多少?(参数的点估计问题）2、强度均值在什么范围内？(参数的区间估计问题）3、若规定强度均

2、值不小于某个定值为合格，那么这批材料是否合格？(参数的假设检验问题）4、这批合金的强度是否服从正态分布？(分布检验问题）5、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同的工艺对合金强度有否影响？若有影响，那一种工艺生产的强度较好？(方差分析问题）6、若这批合金由几种原料用不同的比例合成，那么如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？(回归分析问题）7.若这批材料是由k个厂家、k种不同工艺和k种固定的原料比例生产的，各个厂家、各种工艺和各种原料比例生产的合金强度有什么不同，怎么找出最好的厂家、工艺和原料比例组合最好？（试验设计问题）我们依次讨论参数的点估

3、计、区间估计、假设检验、方差分析、回归分析、试验设计下面引入一些数理统计中的术语。抽样和抽样分布一、总体与样本二、统计量三、几个常用的分布四、正态总体统计量的分布一总体和样本1.总体研究对象的某项数量指标值全体称为总体总体总体…研究某批灯泡的质量考察国产轿车的质量个体——总体中每个成员（元素）2.样本在实际问题中，要考察整个总体往往是不可能的，因为它需要耗费太多的资源和太多的时间.有些破坏性的试验更是不允许对整个总体进行考察.考察某工厂生产的灯泡寿命考察某型号手机的质量考察吸烟和患肺癌的关系为了推断总体分布及各种特征，一个可行的办法是从该总体中按一定的

4、规则抽取若干个个体进行观察和试验，以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验。样本容量为5。由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体，必须考虑抽样方法.统计中，采用的抽样方法是随机抽样法，即子样中每个个体是从总体中随意地取出来的。（1）重复（返回）抽样X,,,XX12n从总体中抽取个体检查后放回，总体成分不变（分布不变）XX,,,X相互独立的随机变量.12n分量X与所考察的总体有相同的分布.kk,2,1,n.（2）

5、非重复（无返回）抽样XX,,,X12n对有限母体，取出样本后改变了总体的成分，所以X12,,,XXn不相互独立，对无限母体而言做无返回抽取，并不改变总体的成分X12,,,XXn独立且同分布于总体最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”。它要求抽取的样本满足下面两点:(1)代表性（随机性）：从总体中抽取样本的每一个分量Xk是随机的,每一个个体被抽到的可能性相同。(2)独立同分布性XX,,,X是相互独立的随机变量.12n其中每一个分量X与所考察的总体有相同的分布.kk,2,1,n.简单随机样本是应用中最常见的情形，今后当说到“X,X,…,X是取

6、自某总体的样本”时，12n若不特别说明，就指简单随机样本.简单随机样本可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量XX12,,,Xn表示.若总体X的分布函数为Fx,则其简单随机样本的联合分布函数为nF*n（x1,x2,,xn）＝Fx1Fx2FxnFxkk1若总体X的分布密度函数为fx,则其简单随机样本的n*联合密度函数为f(x1,,xn)f(xi)i1(i)(i)离散总体X~P(x)P(Xx)则样本的分布列NPn*（x1,x2,,xn）Pxkk1例1对下列总体分别求出样本的联合分布2)1(X

7、~b,1(p);)2(X~N(,)(2)总体X的概率密度为2()x12fx()e2,x2样本的联合概率密度为n*f(x1,,xn)f(xi)i1nn1212xie2i123.总体、样本、样本值的关系事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值,而见不到随机变量.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.统计是从手中已有的资

8、料--样本值，去推断总体的情况--总体分布F(x)的性质.样本是联系二者的桥梁4.样本的分布1